Theorem cosz12 15470

Description: Cosine has a zero between 1 and 2. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 7-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosz12	|- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0

Proof of Theorem cosz12

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8172	. . 3 |- ( T. -> 1 e. RR )
2		2re 9191	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 2 e. RR )
4		0red 8158	. . 3 |- ( T. -> 0 e. RR )
5		1lt2 9291	. . . 4 |- 1 < 2
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 1 < 2 )
7		1re 8156	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		iccssre 10163	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( 1 [,] 2 ) C_ RR )
9	7, 2, 8	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1 [,] 2 ) C_ RR
10		ax-resscn 8102	. . . . 5 |- RR C_ CC
11	9, 10	sstri 3233	. . . 4 |- ( 1 [,] 2 ) C_ CC
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( 1 [,] 2 ) C_ CC )
13		coscn 15460	. . . 4 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
15	9	sseli 3220	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 [,] 2 ) -> x e. RR )
16	15	recoscld 12251	. . . 4 |- ( x e. ( 1 [,] 2 ) -> ( cos ` x ) e. RR )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,] 2 ) ) -> ( cos ` x ) e. RR )
18		sincos2sgn 12293	. . . . . 6 |- ( 0 < ( sin ` 2 ) /\ ( cos ` 2 ) < 0 )
19	18	simpri 113	. . . . 5 |- ( cos ` 2 ) < 0
20		sincos1sgn 12292	. . . . . 6 |- ( 0 < ( sin ` 1 ) /\ 0 < ( cos ` 1 ) )
21	20	simpri 113	. . . . 5 |- 0 < ( cos ` 1 )
22	19, 21	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( ( cos ` 2 ) < 0 /\ 0 < ( cos ` 1 ) )
23	22	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( ( cos ` 2 ) < 0 /\ 0 < ( cos ` 1 ) ) )
24		cos12dec 12295	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 1 [,] 2 ) /\ y e. ( 1 [,] 2 ) /\ x < y ) -> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) )
25	24	3expb 1228	. . . 4 |- ( ( x e. ( 1 [,] 2 ) /\ ( y e. ( 1 [,] 2 ) /\ x < y ) ) -> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) )
26	25	adantll 476	. . 3 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,] 2 ) ) /\ ( y e. ( 1 [,] 2 ) /\ x < y ) ) -> ( cos ` y ) < ( cos ` x ) )
27	1, 3, 4, 6, 12, 14, 17, 23, 26	ivthdec 15334	. 2 |- ( T. -> E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0 )
28	27	mptru 1404	1 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( cos ` p ) = 0

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   < clt 8192   2c2 9172   (,)cioo 10096   [,]cicc 10099   sincsin 12171   cosccos 12172   -cn->ccncf 15260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881  df-ef 12175  df-sin 12177  df-cos 12178  df-rest 13290  df-topgen 13309  df-psmet 14523  df-xmet 14524  df-met 14525  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-ntr 14786  df-cn 14878  df-cnp 14879  df-tx 14943  df-cncf 15261  df-limced 15346  df-dvap 15347

This theorem is referenced by:  sin0pilem1  15471