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Theorem fsumcl2lem 11122
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcl2lem.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    x, B, y    S, k, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables  a  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
21neneqd 2306 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A  =  (/) )
32pm2.21d 593 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
)
4 fsumcllem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
54adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  CC )
6 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
75, 6sseldd 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
9 sumfct 11098 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
12 fveq2 5389 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  a )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 a ) ) )
13 simprl 505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 simprr 506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
154ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  S  C_  CC )
166fmpttd 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1716adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1817ffvelrnda 5523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  S )
1915, 18sseldd 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
20 f1of 5335 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
22 fvco3 5460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  a )
) )
2321, 22sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  a
) ) )
2412, 13, 14, 19, 23fsum3 11111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
2511, 24eqtr3d 2152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
26 nnuz 9317 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2713, 26eleqtrdi 2210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
28 elnnuz 9318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpri 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
3029adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  NN )
314ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  S  C_  CC )
3217ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
3321ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  f :
( 1 ... ( `  A ) ) --> A )
34 fco 5258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> S )
3532, 33, 34syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A )
) --> S )
36 1zzd 9039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  ZZ )
3713ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
3837nnzd 9130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
4140nnzd 9130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ZZ )
4236, 38, 413jca 1146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
4340nnge1d 8727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  <_  x )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
4543, 44jca 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A )
) )
46 elfz2 9752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A ) ) ) )
4742, 45, 46sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
4835, 47ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  S )
4931, 48sseldd 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  CC )
50 0cnd 7727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5139nnzd 9130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
5213adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  NN )
5352nnzd 9130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
54 zdcle 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5551, 53, 54syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5649, 50, 55ifcldadc 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
5730, 56syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
58 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
59 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )
)
6058, 59ifbieq1d 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
61 eqid 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) )
6260, 61fvmptg 5465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 ) )
6330, 57, 62syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
644adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  S  C_  CC )
6517, 64fssd 5255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6665ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6721ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
68 fco 5258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
6966, 67, 68syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
70 1zzd 9039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7113ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
7271nnzd 9130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
73 eluzelz 9291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
7473ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
7570, 72, 743jca 1146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
7629nnge1d 8727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
7776ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  x )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  <_  ( `  A )
)
7977, 78jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A
) ) )
8075, 79, 46sylanbrc 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
8169, 80ffvelrnd 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
82 0cnd 7727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
8330, 55syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
8481, 82, 83ifcldadc 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
8563, 84eqeltrd 2194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  CC )
86 elfzle2 9763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
8786adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
8887iftrued 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )
89 elfznn 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
9089anim2i 339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )
)
9190, 87, 48syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x )  e.  S )
9288, 91eqeltrd 2194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  e.  S
)
9339, 56, 62syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
9493eleq1d 2186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  S ) )
9590, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  S ) )
9692, 95mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) ) `
 x )  e.  S )
97 fsumcllem.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
9897adantlr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
99 addcl 7713 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
10099adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
10127, 85, 96, 98, 64, 100seq3clss 10195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  e.  S
)
10225, 101eqeltrd 2194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S )
103102expr 372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
104103exlimdv 1775 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
) )
105104expimpd 360 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
106 fsumcllem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
107 fz1f1o 11099 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108106, 107syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
1093, 105, 108mpjaod 692 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465    =/= wne 2285   A.wral 2393    C_ wss 3041   (/)c0 3333   ifcif 3444   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959    o. ccom 4513   -->wf 5089   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   Fincfn 6602   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    <_ cle 7769   NNcn 8684   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282   ...cfz 9745    seqcseq 10173  ♯chash 10476   sum_csu 11077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-ihash 10477  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-clim 11003  df-sumdc 11078
This theorem is referenced by:  fsumcllem  11123  fsumrpcl  11128
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