Theorem fsumcl2lem 11350

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl2lem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem

Dummy variables a f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcl2lem.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2361	. . 3 |- ( ph -> -. A = (/) )
3	2	pm2.21d 614	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A B e. S ) )
4		fsumcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ CC )
6		fsumcllem.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
7	5, 6	sseldd 3148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9		sumfct 11326	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
11	10	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
12		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` a ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
13		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
15	4	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> S C_ CC )
16	6	fmpttd 5649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
18	17	ffvelrnda 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. S )
19	15, 18	sseldd 3148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
20		f1of 5440	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
22		fvco3 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
23	21, 22	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
24	12, 13, 14, 19, 23	fsum3 11339	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
25	11, 24	eqtr3d 2205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
26		nnuz 9511	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	13, 26	eleqtrdi 2263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28		elnnuz 9512	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	28	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
30	29	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
31	4	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> S C_ CC )
32	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
33	21	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
34		fco 5361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> S /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
35	32, 33, 34	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
36		1zzd 9228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
37	13	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. NN )
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
41	40	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
42	36, 38, 41	3jca 1172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
43	40	nnge1d 8910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
44		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
45	43, 44	jca 304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
46		elfz2 9961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
48	35, 47	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
49	31, 48	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
50		0cnd 7902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
51	39	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. ZZ )
52	13	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. NN )
53	52	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
54		zdcle 9277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
55	51, 53, 54	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
56	49, 50, 55	ifcldadc 3554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
57	30, 56	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
58		breq1 3990	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> x <_ (♯ ` A ) ) )
59		fveq2 5494	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
60	58, 59	ifbieq1d 3547	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
61		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) )
62	60, 61	fvmptg 5570	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
63	30, 57, 62	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
64	4	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> S C_ CC )
65	17, 64	fssd 5358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
66	65	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
67	21	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
68		fco 5361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
69	66, 67, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
70		1zzd 9228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
71	13	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
72	71	nnzd 9322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
73		eluzelz 9485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
74	73	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
75	70, 72, 74	3jca 1172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
76	29	nnge1d 8910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
77	76	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
78		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
79	77, 78	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
80	75, 79, 46	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
81	69, 80	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
82		0cnd 7902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
83	30, 55	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
84	81, 82, 83	ifcldadc 3554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
85	63, 84	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
86		elfzle2 9973	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
87	86	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
88	87	iftrued 3532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
89		elfznn 9999	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
90	89	anim2i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) )
91	90, 87, 48	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
92	88, 91	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S )
93	39, 56, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
94	93	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
95	90, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
96	92, 95	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S )
97		fsumcllem.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
98	97	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
99		addcl 7888	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
100	99	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
101	27, 85, 96, 98, 64, 100	seq3clss 10412	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) e. S )
102	25, 101	eqeltrd 2247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B e. S )
103	102	expr 373	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
104	103	exlimdv 1812	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
105	104	expimpd 361	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A B e. S ) )
106		fsumcllem.3	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
107		fz1f1o 11327	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108	106, 107	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
109	3, 105, 108	mpjaod 713	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3525   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   o. ccom 4613   -->wf 5192   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   Fincfn 6715   CCcc 7761   0cc0 7763   1c1 7764   + caddc 7766   <_ cle 7944   NNcn 8867   ZZcz 9201   ZZ>=cuz 9476   ...cfz 9954   seqcseq 10390  ♯chash 10698   sum_csu 11305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6510  df-en 6716  df-dom 6717  df-fin 6718  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-ihash 10699  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-clim 11231  df-sumdc 11306

This theorem is referenced by:  fsumcllem  11351  fsumrpcl  11356