Theorem fsumcl2lem 11406

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl2lem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem

Dummy variables a f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcl2lem.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2368	. . 3 |- ( ph -> -. A = (/) )
3	2	pm2.21d 619	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A B e. S ) )
4		fsumcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ CC )
6		fsumcllem.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
7	5, 6	sseldd 3157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9		sumfct 11382	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
12		fveq2 5516	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` a ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
13		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> S C_ CC )
16	6	fmpttd 5672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
18	17	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. S )
19	15, 18	sseldd 3157	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
20		f1of 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
22		fvco3 5588	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
23	21, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
24	12, 13, 14, 19, 23	fsum3 11395	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
25	11, 24	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
26		nnuz 9563	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	13, 26	eleqtrdi 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28		elnnuz 9564	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	28	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
31	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> S C_ CC )
32	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
33	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
34		fco 5382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> S /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
36		1zzd 9280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
37	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. NN )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
41	40	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
42	36, 38, 41	3jca 1177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
43	40	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
45	43, 44	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
46		elfz2 10015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
48	35, 47	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
49	31, 48	sseldd 3157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
50		0cnd 7950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
51	39	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. ZZ )
52	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. NN )
53	52	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
54		zdcle 9329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
56	49, 50, 55	ifcldadc 3564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
57	30, 56	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
58		breq1 4007	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> x <_ (♯ ` A ) ) )
59		fveq2 5516	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
60	58, 59	ifbieq1d 3557	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
61		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) )
62	60, 61	fvmptg 5593	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
63	30, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
64	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> S C_ CC )
65	17, 64	fssd 5379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
67	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
68		fco 5382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
70		1zzd 9280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
71	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
72	71	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
73		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
74	73	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
75	70, 72, 74	3jca 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
76	29	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
77	76	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
78		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
80	75, 79, 46	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
81	69, 80	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
82		0cnd 7950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
83	30, 55	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
84	81, 82, 83	ifcldadc 3564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
85	63, 84	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
86		elfzle2 10028	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
88	87	iftrued 3542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
89		elfznn 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
90	89	anim2i 342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) )
91	90, 87, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
92	88, 91	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S )
93	39, 56, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
94	93	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
95	90, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
96	92, 95	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S )
97		fsumcllem.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
98	97	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
99		addcl 7936	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
100	99	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
101	27, 85, 96, 98, 64, 100	seq3clss 10467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) e. S )
102	25, 101	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B e. S )
103	102	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
104	103	exlimdv 1819	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
105	104	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A B e. S ) )
106		fsumcllem.3	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
107		fz1f1o 11383	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108	106, 107	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
109	3, 105, 108	mpjaod 718	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   C_ wss 3130   (/)c0 3423   ifcif 3535   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   o. ccom 4631   -->wf 5213   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Fincfn 6740   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   <_ cle 7993   NNcn 8919   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ...cfz 10008   seqcseq 10445  ♯chash 10755   sum_csu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  fsumcllem  11407  fsumrpcl  11412