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Theorem fsumcl2lem 11438
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcl2lem.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    x, B, y    S, k, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables  a  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
21neneqd 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A  =  (/) )
32pm2.21d 620 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
)
4 fsumcllem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
54adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  CC )
6 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
75, 6sseldd 3171 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
9 sumfct 11414 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
12 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  a )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 a ) ) )
13 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
154ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  S  C_  CC )
166fmpttd 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1716adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1817ffvelcdmda 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  S )
1915, 18sseldd 3171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
20 f1of 5480 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
22 fvco3 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  a )
) )
2321, 22sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  a
) ) )
2412, 13, 14, 19, 23fsum3 11427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
2511, 24eqtr3d 2224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
26 nnuz 9593 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2713, 26eleqtrdi 2282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
28 elnnuz 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpri 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
3029adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  NN )
314ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  S  C_  CC )
3217ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
3321ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  f :
( 1 ... ( `  A ) ) --> A )
34 fco 5400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> S )
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A )
) --> S )
36 1zzd 9310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  ZZ )
3713ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
3837nnzd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
39 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
4140nnzd 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ZZ )
4236, 38, 413jca 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
4340nnge1d 8992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  <_  x )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
4543, 44jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A )
) )
46 elfz2 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A ) ) ) )
4742, 45, 46sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
4835, 47ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  S )
4931, 48sseldd 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  CC )
50 0cnd 7980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5139nnzd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
5213adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  NN )
5352nnzd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
54 zdcle 9359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5649, 50, 55ifcldadc 3578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
5730, 56syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
58 breq1 4021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
59 fveq2 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )
)
6058, 59ifbieq1d 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
61 eqid 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) )
6260, 61fvmptg 5613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 ) )
6330, 57, 62syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
644adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  S  C_  CC )
6517, 64fssd 5397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6665ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6721ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
68 fco 5400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
6966, 67, 68syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
70 1zzd 9310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7113ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
7271nnzd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
73 eluzelz 9567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
7473ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
7570, 72, 743jca 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
7629nnge1d 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
7776ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  x )
78 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  <_  ( `  A )
)
7977, 78jca 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A
) ) )
8075, 79, 46sylanbrc 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
8169, 80ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
82 0cnd 7980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
8330, 55syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
8481, 82, 83ifcldadc 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
8563, 84eqeltrd 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  CC )
86 elfzle2 10058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
8786adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
8887iftrued 3556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )
89 elfznn 10084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
9089anim2i 342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )
)
9190, 87, 48syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x )  e.  S )
9288, 91eqeltrd 2266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  e.  S
)
9339, 56, 62syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
9493eleq1d 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  S ) )
9590, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  S ) )
9692, 95mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) ) `
 x )  e.  S )
97 fsumcllem.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
9897adantlr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
99 addcl 7966 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
10099adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
10127, 85, 96, 98, 64, 100seq3clss 10498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  e.  S
)
10225, 101eqeltrd 2266 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S )
103102expr 375 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
104103exlimdv 1830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
) )
105104expimpd 363 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
106 fsumcllem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
107 fz1f1o 11415 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108106, 107syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
1093, 105, 108mpjaod 719 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468    C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079    o. ccom 4648   -->wf 5231   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   Fincfn 6766   CCcc 7839   0cc0 7841   1c1 7842    + caddc 7844    <_ cle 8023   NNcn 8949   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038    seqcseq 10476  ♯chash 10787   sum_csu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by:  fsumcllem  11439  fsumrpcl  11444
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