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Theorem fsumcl2lem 11361
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcl2lem.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    x, B, y    S, k, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables  a  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
21neneqd 2361 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A  =  (/) )
32pm2.21d 614 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
)
4 fsumcllem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
54adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  CC )
6 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
75, 6sseldd 3148 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
9 sumfct 11337 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
12 fveq2 5496 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  a )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 a ) ) )
13 simprl 526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
154ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  S  C_  CC )
166fmpttd 5651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1716adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1817ffvelrnda 5631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  S )
1915, 18sseldd 3148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
20 f1of 5442 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
22 fvco3 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  a )
) )
2321, 22sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  a
) ) )
2412, 13, 14, 19, 23fsum3 11350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
2511, 24eqtr3d 2205 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
26 nnuz 9522 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2713, 26eleqtrdi 2263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
28 elnnuz 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpri 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
3029adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  NN )
314ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  S  C_  CC )
3217ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
3321ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  f :
( 1 ... ( `  A ) ) --> A )
34 fco 5363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> S )
3532, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A )
) --> S )
36 1zzd 9239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  ZZ )
3713ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
3837nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
39 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
4140nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ZZ )
4236, 38, 413jca 1172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
4340nnge1d 8921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  <_  x )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
4543, 44jca 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A )
) )
46 elfz2 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A ) ) ) )
4742, 45, 46sylanbrc 415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
4835, 47ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  S )
4931, 48sseldd 3148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  CC )
50 0cnd 7913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5139nnzd 9333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
5213adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  NN )
5352nnzd 9333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
54 zdcle 9288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5551, 53, 54syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5649, 50, 55ifcldadc 3555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
5730, 56syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
58 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
59 fveq2 5496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )
)
6058, 59ifbieq1d 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
61 eqid 2170 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) )
6260, 61fvmptg 5572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 ) )
6330, 57, 62syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
644adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  S  C_  CC )
6517, 64fssd 5360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6665ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6721ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
68 fco 5363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
6966, 67, 68syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
70 1zzd 9239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7113ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
7271nnzd 9333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
73 eluzelz 9496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
7473ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
7570, 72, 743jca 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
7629nnge1d 8921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
7776ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  x )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  <_  ( `  A )
)
7977, 78jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A
) ) )
8075, 79, 46sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
8169, 80ffvelrnd 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
82 0cnd 7913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
8330, 55syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
8481, 82, 83ifcldadc 3555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
8563, 84eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  CC )
86 elfzle2 9984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
8786adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
8887iftrued 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )
89 elfznn 10010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
9089anim2i 340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )
)
9190, 87, 48syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x )  e.  S )
9288, 91eqeltrd 2247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  e.  S
)
9339, 56, 62syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
9493eleq1d 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  S ) )
9590, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  S ) )
9692, 95mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) ) `
 x )  e.  S )
97 fsumcllem.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
9897adantlr 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
99 addcl 7899 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
10099adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
10127, 85, 96, 98, 64, 100seq3clss 10423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  e.  S
)
10225, 101eqeltrd 2247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S )
103102expr 373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
104103exlimdv 1812 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
) )
105104expimpd 361 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
106 fsumcllem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
107 fz1f1o 11338 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108106, 107syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
1093, 105, 108mpjaod 713 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    =/= wne 2340   A.wral 2448    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    o. ccom 4615   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    <_ cle 7955   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965    seqcseq 10401  ♯chash 10709   sum_csu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by:  fsumcllem  11362  fsumrpcl  11367
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