Theorem fsumcl2lem 11909

Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fsumcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
fsumcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fsumcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl2lem	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem

Dummy variables a f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcl2lem.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2421	. . 3 |- ( ph -> -. A = (/) )
3	2	pm2.21d 622	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> sum_ k e. A B e. S ) )
4		fsumcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> S C_ CC )
6		fsumcllem.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
7	5, 6	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9		sumfct 11885	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A B e. CC -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
11	10	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B )
12		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` a ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
13		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
14		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> S C_ CC )
16	6	fmpttd 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
18	17	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. S )
19	15, 18	sseldd 3225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
20		f1of 5572	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
22		fvco3 5705	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
23	21, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ a e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` a ) ) )
24	12, 13, 14, 19, 23	fsum3 11898	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
25	11, 24	eqtr3d 2264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) )
26		nnuz 9758	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
27	13, 26	eleqtrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28		elnnuz 9759	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	28	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. NN )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> x e. NN )
31	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> S C_ CC )
32	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> S )
33	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
34		fco 5489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> S /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
35	32, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> S )
36		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
37	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
38	37	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
39		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. NN )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
41	40	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
42	36, 38, 41	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
43	40	nnge1d 9153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
45	43, 44	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
46		elfz2 10211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) ) )
47	42, 45, 46	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
48	35, 47	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
49	31, 48	sseldd 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
50		0cnd 8139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
51	39	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> x e. ZZ )
52	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. NN )
53	52	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
54		zdcle 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
56	49, 50, 55	ifcldadc 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
57	30, 56	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
58		breq1 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> x <_ (♯ ` A ) ) )
59		fveq2 5627	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
60	58, 59	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
61		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) )
62	60, 61	fvmptg 5710	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
63	30, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
64	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> S C_ CC )
65	17, 64	fssd 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
67	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A )
68		fco 5489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... (♯ ` A ) ) --> CC )
70		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 e. ZZ )
71	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
72	71	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> (♯ ` A ) e. ZZ )
73		eluzelz 9731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> x e. ZZ )
74	73	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ZZ )
75	70, 72, 74	3jca 1201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 e. ZZ /\ (♯ ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
76	29	nnge1d 9153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ x )
77	76	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> 1 <_ x )
78		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( 1 <_ x /\ x <_ (♯ ` A ) ) )
80	75, 79, 46	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
81	69, 80	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ x <_ (♯ ` A ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
82		0cnd 8139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. x <_ (♯ ` A ) ) -> 0 e. CC )
83	30, 55	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID x <_ (♯ ` A ) )
84	81, 82, 83	ifcldadc 3632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. CC )
85	63, 84	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. CC )
86		elfzle2 10224	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
87	86	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> x <_ (♯ ` A ) )
88	87	iftrued 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) = ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) )
89		elfznn 10250	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> x e. NN )
90	89	anim2i 342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) )
91	90, 87, 48	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. S )
92	88, 91	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S )
93	39, 56, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) )
94	93	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. NN ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
95	90, 94	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S <-> if ( x <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) , 0 ) e. S ) )
96	92, 95	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ` x ) e. S )
97		fsumcllem.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
98	97	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
99		addcl 8124	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
100	99	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
101	27, 85, 96, 98, 64, 100	seq3clss 10693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` a ) , 0 ) ) ) ` (♯ ` A ) ) e. S )
102	25, 101	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ k e. A B e. S )
103	102	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
104	103	exlimdv 1865	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A -> sum_ k e. A B e. S ) )
105	104	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> sum_ k e. A B e. S ) )
106		fsumcllem.3	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
107		fz1f1o 11886	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108	106, 107	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( (♯ ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
109	3, 105, 108	mpjaod 723	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204   seqcseq 10669  ♯chash 10997   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  fsumcllem  11910  fsumrpcl  11915