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Theorem fsumcl2lem 10755
Description: - Lemma for finite sum closures. (The "-" before "Lemma" forces the math content to be displayed in the Statement List - NM 11-Feb-2008.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcllem.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
fsumcllem.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
fsumcllem.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumcllem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
fsumcl2lem.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
fsumcl2lem  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Distinct variable groups:    A, k, x, y    x, B, y    S, k, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumcl2lem
Dummy variables  a  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcl2lem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
21neneqd 2276 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A  =  (/) )
32pm2.21d 584 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
)
4 fsumcllem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
54adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  C_  CC )
6 fsumcllem.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  S )
75, 6sseldd 3024 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
9 sumfct 10727 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m )  = 
sum_ k  e.  A  B )
108, 9syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
)
1110adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  sum_ k  e.  A  B )
12 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  a )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 a ) ) )
13 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
14 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
154ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  S  C_  CC )
166fmpttd 5437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1716adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
1817ffvelrnda 5418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  S )
1915, 18sseldd 3024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  e.  CC )
20 f1of 5237 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A  ->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
22 fvco3 5359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  a )
) )
2321, 22sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  a  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  a
) ) )
2412, 13, 14, 19, 23fsum3 10743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
2511, 24eqtr3d 2122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) ) `  ( `  A ) ) )
26 nnuz 9023 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2713, 26syl6eleq 2180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
28 elnnuz 9024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  <->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpri 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  NN )
3029adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  x  e.  NN )
314ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  S  C_  CC )
3217ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S )
3321ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  f :
( 1 ... ( `  A ) ) --> A )
34 fco 5161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> S  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> S )
3532, 33, 34syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A )
) --> S )
36 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  e.  ZZ )
3713ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  NN )
3837nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( `  A
)  e.  ZZ )
39 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
4039adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
4140nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ZZ )
4236, 38, 413jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
4340nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  1  <_  x )
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
4543, 44jca 300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A )
) )
46 elfz2 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  <->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A ) ) ) )
4742, 45, 46sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )
4835, 47ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  S )
4931, 48sseldd 3024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  x  <_  ( `  A )
)  ->  ( (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )  e.  CC )
50 0cnd 7460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
5139nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
5213adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  NN )
5352nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  ZZ )
54 zdcle 8793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5551, 53, 54syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
5649, 50, 55ifcldadc 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
5730, 56syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
58 breq1 3840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <_  ( `  A
)  <->  x  <_  ( `  A
) ) )
59 fveq2 5289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
)  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x )
)
6058, 59ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
61 eqid 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) )
6260, 61fvmptg 5364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 ) )
6330, 57, 62syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
644adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  S  C_  CC )
6517, 64fssd 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6665ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6721ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )
68 fco 5161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) --> A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A ) ) --> CC )
6966, 67, 68syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( `  A
) ) --> CC )
70 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
7113ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
7271nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( `  A )  e.  ZZ )
73 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ZZ )
7473ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
7570, 72, 743jca 1123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( `  A )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )
7629nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  <_  x )
7776ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
1  <_  x )
78 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  <_  ( `  A )
)
7977, 78jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( 1  <_  x  /\  x  <_  ( `  A
) ) )
8075, 79, 46sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( `  A
) ) )
8169, 80ffvelrnd 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  x  <_  ( `  A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
82 0cnd 7460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  x  <_  ( `  A )
)  ->  0  e.  CC )
8330, 55syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  x  <_  ( `  A
) )
8481, 82, 83ifcldadc 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  CC )
8563, 84eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  CC )
86 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  <_  ( `  A ) )
8786adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  x  <_  ( `  A ) )
8887iftrued 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )
89 elfznn 9437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  x  e.  NN )
9089anim2i 334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A )
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )
)
9190, 87, 48syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x )  e.  S )
9288, 91eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 )  e.  S
)
9339, 56, 62syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 x ) ,  0 ) )
9493eleq1d 2156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if ( x  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) ,  0 )  e.  S ) )
9590, 94syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  a
) ,  0 ) ) `  x )  e.  S  <->  if (
x  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  x ) ,  0 )  e.  S ) )
9692, 95mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( `  A ) ) )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  a ) ,  0 ) ) `
 x )  e.  S )
97 fsumcllem.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
9897adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  +  y )  e.  S )
99 addcl 7446 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
10099adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
10127, 85, 96, 98, 64, 100seq3clss 9852 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `
 a ) ,  0 ) ) ) `
 ( `  A
) )  e.  S
)
10225, 101eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S )
103102expr 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  A ) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
104103exlimdv 1747 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S
) )
105104expimpd 355 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  S ) )
106 fsumcllem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
107 fz1f1o 10728 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( `  A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
108106, 107syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
1093, 105, 108mpjaod 673 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891    o. ccom 4432   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Fincfn 6437   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    <_ cle 7502   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    seqcseq 9817  ♯chash 10148   sum_csu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  fsumcllem  10756  fsumrpcl  10761
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