Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3662	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3658	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7444  ctssdc  7447  enumctlemm  7448  iseqf1olemfvp  10930  seq3f1olemqsum  10933  seq3f1oleml  10936  seq3f1o  10937  bcval  11170  swrdval  11403  sumrbdclem  12127  summodclem3  12130  summodclem2a  12131  summodc  12133  zsumdc  12134  fsum3  12137  isumss  12141  isumss2  12143  fsum3cvg2  12144  fsum3ser  12147  fsumcl2lem  12148  fsumadd  12156  sumsnf  12159  fsummulc2  12198  isumlessdc  12246  cbvprod  12308  prodrbdclem  12321  prodmodclem3  12325  prodmodclem2a  12326  prodmodc  12328  zproddc  12329  fprodseq  12333  fprodntrivap  12334  prodssdc  12339  fprodmul  12341  prodsnf  12342  pcmpt  13105  pcmptdvds  13107  ballotfilemsval  13235  ballotfilemieq  13243  ballotfi  13265  elply2  15819  lgsval  16106  lgsfvalg  16107  lgsdir  16137  lgsdilem2  16138  lgsdi  16139  lgsne0  16140