Theorem ifbieq1d 3571

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3570	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3566	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-if 3550

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7140  ctssdc  7143  enumctlemm  7144  iseqf1olemfvp  10530  seq3f1olemqsum  10533  seq3f1oleml  10536  seq3f1o  10537  bcval  10764  sumrbdclem  11420  summodclem3  11423  summodclem2a  11424  summodc  11426  zsumdc  11427  fsum3  11430  isumss  11434  isumss2  11436  fsum3cvg2  11437  fsum3ser  11440  fsumcl2lem  11441  fsumadd  11449  sumsnf  11452  fsummulc2  11491  isumlessdc  11539  cbvprod  11601  prodrbdclem  11614  prodmodclem3  11618  prodmodclem2a  11619  prodmodc  11621  zproddc  11622  fprodseq  11626  fprodntrivap  11627  prodssdc  11632  fprodmul  11634  prodsnf  11635  pcmpt  12378  pcmptdvds  12380  lgsval  14883  lgsfvalg  14884  lgsdir  14914  lgsdilem2  14915  lgsdi  14916  lgsne0  14917