Theorem ifbieq1d 3595

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3594	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3590	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ifcif 3573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3172  df-if 3574

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7224  ctssdc  7227  enumctlemm  7228  iseqf1olemfvp  10668  seq3f1olemqsum  10671  seq3f1oleml  10674  seq3f1o  10675  bcval  10907  swrdval  11115  sumrbdclem  11738  summodclem3  11741  summodclem2a  11742  summodc  11744  zsumdc  11745  fsum3  11748  isumss  11752  isumss2  11754  fsum3cvg2  11755  fsum3ser  11758  fsumcl2lem  11759  fsumadd  11767  sumsnf  11770  fsummulc2  11809  isumlessdc  11857  cbvprod  11919  prodrbdclem  11932  prodmodclem3  11936  prodmodclem2a  11937  prodmodc  11939  zproddc  11940  fprodseq  11944  fprodntrivap  11945  prodssdc  11950  fprodmul  11952  prodsnf  11953  pcmpt  12716  pcmptdvds  12718  elply2  15257  lgsval  15531  lgsfvalg  15532  lgsdir  15562  lgsdilem2  15563  lgsdi  15564  lgsne0  15565