Theorem ifbieq1d 3542

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3541	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3537	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343  ifcif 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-if 3521

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7075  ctssdc  7078  enumctlemm  7079  iseqf1olemfvp  10432  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  bcval  10662  sumrbdclem  11318  summodclem3  11321  summodclem2a  11322  summodc  11324  zsumdc  11325  fsum3  11328  isumss  11332  isumss2  11334  fsum3cvg2  11335  fsum3ser  11338  fsumcl2lem  11339  fsumadd  11347  sumsnf  11350  fsummulc2  11389  isumlessdc  11437  cbvprod  11499  prodrbdclem  11512  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  prodmodc  11519  zproddc  11520  fprodseq  11524  fprodntrivap  11525  prodssdc  11530  fprodmul  11532  prodsnf  11533  pcmpt  12273  pcmptdvds  12275  lgsval  13545  lgsfvalg  13546  lgsdir  13576  lgsdilem2  13577  lgsdi  13578  lgsne0  13579