Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3662	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3658	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7457  ctssdc  7460  enumctlemm  7461  iseqf1olemfvp  10969  seq3f1olemqsum  10972  seq3f1oleml  10975  seq3f1o  10976  bcval  11210  swrdval  11443  sumrbdclem  12170  summodclem3  12173  summodclem2a  12174  summodc  12176  zsumdc  12177  fsum3  12180  isumss  12184  isumss2  12186  fsum3cvg2  12187  fsum3ser  12190  fsumcl2lem  12191  fsumadd  12199  sumsnf  12202  fsummulc2  12241  isumlessdc  12289  cbvprod  12351  prodrbdclem  12364  prodmodclem3  12368  prodmodclem2a  12369  prodmodc  12371  zproddc  12372  fprodseq  12376  fprodntrivap  12377  prodssdc  12382  fprodmul  12384  prodsnf  12385  pcmpt  13152  pcmptdvds  13154  ballotfilemsval  13311  ballotfilemieq  13319  ballotfi  13341  elply2  15973  prmorcht  16294  bposlem5  16327  lgsval  16340  lgsfvalg  16341  lgsdir  16371  lgsdilem2  16372  lgsdi  16373  lgsne0  16374