Theorem ifbieq1d 3580

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3575	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-if 3559

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7171  ctssdc  7174  enumctlemm  7175  iseqf1olemfvp  10584  seq3f1olemqsum  10587  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  bcval  10823  sumrbdclem  11523  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  summodc  11529  zsumdc  11530  fsum3  11533  isumss  11537  isumss2  11539  fsum3cvg2  11540  fsum3ser  11543  fsumcl2lem  11544  fsumadd  11552  sumsnf  11555  fsummulc2  11594  isumlessdc  11642  cbvprod  11704  prodrbdclem  11717  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  prodmodc  11724  zproddc  11725  fprodseq  11729  fprodntrivap  11730  prodssdc  11735  fprodmul  11737  prodsnf  11738  pcmpt  12484  pcmptdvds  12486  elply2  14914  lgsval  15161  lgsfvalg  15162  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsdi  15194  lgsne0  15195