Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3662	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3658	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  iseqf1olemfvp  10949  seq3f1olemqsum  10952  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  bcval  11189  swrdval  11422  sumrbdclem  12146  summodclem3  12149  summodclem2a  12150  summodc  12152  zsumdc  12153  fsum3  12156  isumss  12160  isumss2  12162  fsum3cvg2  12163  fsum3ser  12166  fsumcl2lem  12167  fsumadd  12175  sumsnf  12178  fsummulc2  12217  isumlessdc  12265  cbvprod  12327  prodrbdclem  12340  prodmodclem3  12344  prodmodclem2a  12345  prodmodc  12347  zproddc  12348  fprodseq  12352  fprodntrivap  12353  prodssdc  12358  fprodmul  12360  prodsnf  12361  pcmpt  13124  pcmptdvds  13126  ballotfilemsval  13254  ballotfilemieq  13262  ballotfi  13284  elply2  15838  lgsval  16135  lgsfvalg  16136  lgsdir  16166  lgsdilem2  16167  lgsdi  16168  lgsne0  16169