Theorem ifbieq1d 3649

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3648	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3644	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ifcif 3624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-if 3625

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7414  ctssdc  7417  enumctlemm  7418  iseqf1olemfvp  10896  seq3f1olemqsum  10899  seq3f1oleml  10902  seq3f1o  10903  bcval  11136  swrdval  11365  sumrbdclem  12088  summodclem3  12091  summodclem2a  12092  summodc  12094  zsumdc  12095  fsum3  12098  isumss  12102  isumss2  12104  fsum3cvg2  12105  fsum3ser  12108  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  sumsnf  12120  fsummulc2  12159  isumlessdc  12207  cbvprod  12269  prodrbdclem  12282  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  prodmodc  12289  zproddc  12290  fprodseq  12294  fprodntrivap  12295  prodssdc  12300  fprodmul  12302  prodsnf  12303  pcmpt  13066  pcmptdvds  13068  ballotfilemsval  13196  ballotfilemieq  13204  ballotfi  13226  elply2  15712  lgsval  15989  lgsfvalg  15990  lgsdir  16020  lgsdilem2  16021  lgsdi  16022  lgsne0  16023