Theorem ifbieq1d 3626

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3625	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3621	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ifcif 3603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-if 3604

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7303  ctssdc  7306  enumctlemm  7307  iseqf1olemfvp  10765  seq3f1olemqsum  10768  seq3f1oleml  10771  seq3f1o  10772  bcval  11004  swrdval  11222  sumrbdclem  11931  summodclem3  11934  summodclem2a  11935  summodc  11937  zsumdc  11938  fsum3  11941  isumss  11945  isumss2  11947  fsum3cvg2  11948  fsum3ser  11951  fsumcl2lem  11952  fsumadd  11960  sumsnf  11963  fsummulc2  12002  isumlessdc  12050  cbvprod  12112  prodrbdclem  12125  prodmodclem3  12129  prodmodclem2a  12130  prodmodc  12132  zproddc  12133  fprodseq  12137  fprodntrivap  12138  prodssdc  12143  fprodmul  12145  prodsnf  12146  pcmpt  12909  pcmptdvds  12911  elply2  15452  lgsval  15726  lgsfvalg  15727  lgsdir  15757  lgsdilem2  15758  lgsdi  15759  lgsne0  15760