Theorem ifbieq1d 3625

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3624	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3620	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-if 3603

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7293  ctssdc  7296  enumctlemm  7297  iseqf1olemfvp  10749  seq3f1olemqsum  10752  seq3f1oleml  10755  seq3f1o  10756  bcval  10988  swrdval  11201  sumrbdclem  11909  summodclem3  11912  summodclem2a  11913  summodc  11915  zsumdc  11916  fsum3  11919  isumss  11923  isumss2  11925  fsum3cvg2  11926  fsum3ser  11929  fsumcl2lem  11930  fsumadd  11938  sumsnf  11941  fsummulc2  11980  isumlessdc  12028  cbvprod  12090  prodrbdclem  12103  prodmodclem3  12107  prodmodclem2a  12108  prodmodc  12110  zproddc  12111  fprodseq  12115  fprodntrivap  12116  prodssdc  12121  fprodmul  12123  prodsnf  12124  pcmpt  12887  pcmptdvds  12889  elply2  15430  lgsval  15704  lgsfvalg  15705  lgsdir  15735  lgsdilem2  15736  lgsdi  15737  lgsne0  15738