Theorem ifbieq1d 3625

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3624	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3620	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-if 3603

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7285  ctssdc  7288  enumctlemm  7289  iseqf1olemfvp  10740  seq3f1olemqsum  10743  seq3f1oleml  10746  seq3f1o  10747  bcval  10979  swrdval  11188  sumrbdclem  11896  summodclem3  11899  summodclem2a  11900  summodc  11902  zsumdc  11903  fsum3  11906  isumss  11910  isumss2  11912  fsum3cvg2  11913  fsum3ser  11916  fsumcl2lem  11917  fsumadd  11925  sumsnf  11928  fsummulc2  11967  isumlessdc  12015  cbvprod  12077  prodrbdclem  12090  prodmodclem3  12094  prodmodclem2a  12095  prodmodc  12097  zproddc  12098  fprodseq  12102  fprodntrivap  12103  prodssdc  12108  fprodmul  12110  prodsnf  12111  pcmpt  12874  pcmptdvds  12876  elply2  15417  lgsval  15691  lgsfvalg  15692  lgsdir  15722  lgsdilem2  15723  lgsdi  15724  lgsne0  15725