Theorem ifbieq1d 3649

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3648	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3644	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ifcif 3624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-if 3625

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7414  ctssdc  7417  enumctlemm  7418  iseqf1olemfvp  10899  seq3f1olemqsum  10902  seq3f1oleml  10905  seq3f1o  10906  bcval  11139  swrdval  11368  sumrbdclem  12092  summodclem3  12095  summodclem2a  12096  summodc  12098  zsumdc  12099  fsum3  12102  isumss  12106  isumss2  12108  fsum3cvg2  12109  fsum3ser  12112  fsumcl2lem  12113  fsumadd  12121  sumsnf  12124  fsummulc2  12163  isumlessdc  12211  cbvprod  12273  prodrbdclem  12286  prodmodclem3  12290  prodmodclem2a  12291  prodmodc  12293  zproddc  12294  fprodseq  12298  fprodntrivap  12299  prodssdc  12304  fprodmul  12306  prodsnf  12307  pcmpt  13070  pcmptdvds  13072  ballotfilemsval  13200  ballotfilemieq  13208  ballotfi  13230  elply2  15730  lgsval  16007  lgsfvalg  16008  lgsdir  16038  lgsdilem2  16039  lgsdi  16040  lgsne0  16041