Theorem ifbieq1d 3571

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3570	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3566	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2222	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-if 3550

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7127  ctssdc  7130  enumctlemm  7131  iseqf1olemfvp  10515  seq3f1olemqsum  10518  seq3f1oleml  10521  seq3f1o  10522  bcval  10747  sumrbdclem  11403  summodclem3  11406  summodclem2a  11407  summodc  11409  zsumdc  11410  fsum3  11413  isumss  11417  isumss2  11419  fsum3cvg2  11420  fsum3ser  11423  fsumcl2lem  11424  fsumadd  11432  sumsnf  11435  fsummulc2  11474  isumlessdc  11522  cbvprod  11584  prodrbdclem  11597  prodmodclem3  11601  prodmodclem2a  11602  prodmodc  11604  zproddc  11605  fprodseq  11609  fprodntrivap  11610  prodssdc  11615  fprodmul  11617  prodsnf  11618  pcmpt  12359  pcmptdvds  12361  lgsval  14802  lgsfvalg  14803  lgsdir  14833  lgsdilem2  14834  lgsdi  14835  lgsne0  14836