Theorem ifbieq1d 3663

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3662	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3658	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ifcif 3638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-if 3639

This theorem is used by:  ctssdclemn0  7451  ctssdc  7454  enumctlemm  7455  iseqf1olemfvp  10961  seq3f1olemqsum  10964  seq3f1oleml  10967  seq3f1o  10968  bcval  11202  swrdval  11435  sumrbdclem  12162  summodclem3  12165  summodclem2a  12166  summodc  12168  zsumdc  12169  fsum3  12172  isumss  12176  isumss2  12178  fsum3cvg2  12179  fsum3ser  12182  fsumcl2lem  12183  fsumadd  12191  sumsnf  12194  fsummulc2  12233  isumlessdc  12281  cbvprod  12343  prodrbdclem  12356  prodmodclem3  12360  prodmodclem2a  12361  prodmodc  12363  zproddc  12364  fprodseq  12368  fprodntrivap  12369  prodssdc  12374  fprodmul  12376  prodsnf  12377  pcmpt  13144  pcmptdvds  13146  ballotfilemsval  13303  ballotfilemieq  13311  ballotfi  13333  elply2  15888  prmorcht  16204  bposlem5  16237  lgsval  16245  lgsfvalg  16246  lgsdir  16276  lgsdilem2  16277  lgsdi  16278  lgsne0  16279