Theorem ifbieq1d 3583

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3582	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-if 3562

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7176  ctssdc  7179  enumctlemm  7180  iseqf1olemfvp  10602  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  bcval  10841  sumrbdclem  11542  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  summodc  11548  zsumdc  11549  fsum3  11552  isumss  11556  isumss2  11558  fsum3cvg2  11559  fsum3ser  11562  fsumcl2lem  11563  fsumadd  11571  sumsnf  11574  fsummulc2  11613  isumlessdc  11661  cbvprod  11723  prodrbdclem  11736  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  prodmodc  11743  zproddc  11744  fprodseq  11748  fprodntrivap  11749  prodssdc  11754  fprodmul  11756  prodsnf  11757  pcmpt  12512  pcmptdvds  12514  elply2  14971  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsdir  15276  lgsdilem2  15277  lgsdi  15278  lgsne0  15279