Theorem ifbieq1d 3632

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3631	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3627	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ifcif 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-if 3608

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7352  ctssdc  7355  enumctlemm  7356  iseqf1olemfvp  10816  seq3f1olemqsum  10819  seq3f1oleml  10822  seq3f1o  10823  bcval  11055  swrdval  11276  sumrbdclem  11999  summodclem3  12002  summodclem2a  12003  summodc  12005  zsumdc  12006  fsum3  12009  isumss  12013  isumss2  12015  fsum3cvg2  12016  fsum3ser  12019  fsumcl2lem  12020  fsumadd  12028  sumsnf  12031  fsummulc2  12070  isumlessdc  12118  cbvprod  12180  prodrbdclem  12193  prodmodclem3  12197  prodmodclem2a  12198  prodmodc  12200  zproddc  12201  fprodseq  12205  fprodntrivap  12206  prodssdc  12211  fprodmul  12213  prodsnf  12214  pcmpt  12977  pcmptdvds  12979  elply2  15526  lgsval  15803  lgsfvalg  15804  lgsdir  15834  lgsdilem2  15835  lgsdi  15836  lgsne0  15837