Theorem ifbieq1d 3644

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3643	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3639	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398  ifcif 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-if 3620

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7400  ctssdc  7403  enumctlemm  7404  iseqf1olemfvp  10871  seq3f1olemqsum  10874  seq3f1oleml  10877  seq3f1o  10878  bcval  11110  swrdval  11336  sumrbdclem  12059  summodclem3  12062  summodclem2a  12063  summodc  12065  zsumdc  12066  fsum3  12069  isumss  12073  isumss2  12075  fsum3cvg2  12076  fsum3ser  12079  fsumcl2lem  12080  fsumadd  12088  sumsnf  12091  fsummulc2  12130  isumlessdc  12178  cbvprod  12240  prodrbdclem  12253  prodmodclem3  12257  prodmodclem2a  12258  prodmodc  12260  zproddc  12261  fprodseq  12265  fprodntrivap  12266  prodssdc  12271  fprodmul  12273  prodsnf  12274  pcmpt  13037  pcmptdvds  13039  elply2  15592  lgsval  15869  lgsfvalg  15870  lgsdir  15900  lgsdilem2  15901  lgsdi  15902  lgsne0  15903