Theorem ifbieq1d 3548

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3547	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3543	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2203	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348  ifcif 3526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-if 3527

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7087  ctssdc  7090  enumctlemm  7091  iseqf1olemfvp  10453  seq3f1olemqsum  10456  seq3f1oleml  10459  seq3f1o  10460  bcval  10683  sumrbdclem  11340  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  summodc  11346  zsumdc  11347  fsum3  11350  isumss  11354  isumss2  11356  fsum3cvg2  11357  fsum3ser  11360  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411  isumlessdc  11459  cbvprod  11521  prodrbdclem  11534  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  prodmodc  11541  zproddc  11542  fprodseq  11546  fprodntrivap  11547  prodssdc  11552  fprodmul  11554  prodsnf  11555  pcmpt  12295  pcmptdvds  12297  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsdi  13732  lgsne0  13733