Theorem ifbieq1d 3625

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3624	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3620	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-if 3603

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7265  ctssdc  7268  enumctlemm  7269  iseqf1olemfvp  10719  seq3f1olemqsum  10722  seq3f1oleml  10725  seq3f1o  10726  bcval  10958  swrdval  11166  sumrbdclem  11874  summodclem3  11877  summodclem2a  11878  summodc  11880  zsumdc  11881  fsum3  11884  isumss  11888  isumss2  11890  fsum3cvg2  11891  fsum3ser  11894  fsumcl2lem  11895  fsumadd  11903  sumsnf  11906  fsummulc2  11945  isumlessdc  11993  cbvprod  12055  prodrbdclem  12068  prodmodclem3  12072  prodmodclem2a  12073  prodmodc  12075  zproddc  12076  fprodseq  12080  fprodntrivap  12081  prodssdc  12086  fprodmul  12088  prodsnf  12089  pcmpt  12852  pcmptdvds  12854  elply2  15394  lgsval  15668  lgsfvalg  15669  lgsdir  15699  lgsdilem2  15700  lgsdi  15701  lgsne0  15702