Theorem ifbieq1d 3579

Description: Equivalence/equality deduction for conditional operators. (Contributed by JJ, 25-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifbieq1d.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ifbieq1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ifbieq1d	⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Proof of Theorem ifbieq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifbieq1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	ifbid 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐴, 𝐶))
3		ifbieq1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
4	3	ifeq1d 3574	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))
5	2, 4	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜓, 𝐴, 𝐶) = if(𝜒, 𝐵, 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ifcif 3557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-if 3558

This theorem is referenced by:  ctssdclemn0  7169  ctssdc  7172  enumctlemm  7173  iseqf1olemfvp  10581  seq3f1olemqsum  10584  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  bcval  10820  sumrbdclem  11520  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  summodc  11526  zsumdc  11527  fsum3  11530  isumss  11534  isumss2  11536  fsum3cvg2  11537  fsum3ser  11540  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  sumsnf  11552  fsummulc2  11591  isumlessdc  11639  cbvprod  11701  prodrbdclem  11714  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  prodmodc  11721  zproddc  11722  fprodseq  11726  fprodntrivap  11727  prodssdc  11732  fprodmul  11734  prodsnf  11735  pcmpt  12481  pcmptdvds  12483  elply2  14881  lgsval  15120  lgsfvalg  15121  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154