ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumlessdc Unicode version

Theorem isumlessdc 11233
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.dc  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumlessdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumlessdc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
2 isumless.dc . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
31sselda 3067 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
4 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
54recnd 7762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
63, 5syldan 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76ralrimiva 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8 isumless.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 isumless.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
109eqimssi 3123 . . . . . 6  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
129eleq2i 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1413orcd 707 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z )
)
15 df-dc 805 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  Z  <->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z ) )
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1716rgen 2462 . . . . . 6  |-  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z
1817a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )
198, 11, 183jca 1146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z ) )
2019orcd 707 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )  \/  Z  e.  Fin ) )
211, 2, 7, 20isumss2 11130 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
23 isumless.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2423, 4eqeltrd 2194 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
26 0red 7735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
272r19.21bi 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
2825, 26, 27ifcldadc 3471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  RR )
29 eleq1w 2178 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
30 fveq2 5389 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
3129, 30ifbieq1d 3464 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
32 eqid 2117 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
3331, 32fvmptg 5465 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  RR )  ->  ( ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
3422, 28, 33syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
3523ifeq1d 3459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3634, 35eqtrd 2150 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3735, 28eqeltrrd 2195 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
384leidd 8244 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  <_  B )
39 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
40 breq1 3902 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
41 breq1 3902 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
4240, 41ifbothdc 3474 . . . 4  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B  /\ DECID  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
4338, 39, 27, 42syl3anc 1201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
44 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4513, 27sylan2 284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
469, 8, 44, 1, 45, 36, 6fsum3cvg3 11133 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
47 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
489, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47isumle 11232 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4921, 48eqbrtrd 3920 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    C_ wss 3041   ifcif 3444   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   dom cdm 4509   ` cfv 5093   Fincfn 6602   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588    + caddc 7591    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294    seqcseq 10186    ~~> cli 11015   sum_csu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11272
  Copyright terms: Public domain W3C validator