Theorem isumlessdc 11546

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.dc	|- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumlessdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumlessdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2		isumless.dc	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
3	1	sselda 3170	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
4		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
5	4	recnd 8022	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
6	3, 5	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7	6	ralrimiva 2563	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
8		isumless.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		isumless.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3226	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2256	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 734	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	rgen 2543	. . . . . 6 |- A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1179	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 734	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 2, 7, 20	isumss2 11443	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
23		isumless.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23, 4	eqeltrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		0red 7994	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. RR )
27	2	r19.21bi 2578	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
28	25, 26, 27	ifcldadc 3578	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR )
29		eleq1w 2250	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
30		fveq2 5537	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
31	29, 30	ifbieq1d 3571	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
32		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
33	31, 32	fvmptg 5616	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
34	22, 28, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
35	23	ifeq1d 3566	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
36	34, 35	eqtrd 2222	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
37	35, 28	eqeltrrd 2267	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
38	4	leidd 8507	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B <_ B )
39		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
40		breq1 4024	. . . . 5 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
41		breq1 4024	. . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
42	40, 41	ifbothdc 3582	. . . 4 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B /\ DECID k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
43	38, 39, 27, 42	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
44		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
45	13, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
46	9, 8, 44, 1, 45, 36, 6	fsum3cvg3 11446	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
47		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
48	9, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47	isumle 11545	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
49	21, 48	eqbrtrd 4043	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ifcif 3549   class class class wbr 4021   |-> cmpt 4082   dom cdm 4647   ` cfv 5238   Fincfn 6770   CCcc 7844   RRcr 7845   0cc0 7846   + caddc 7849   <_ cle 8029   ZZcz 9289   ZZ>=cuz 9564   seqcseq 10485   ~~> cli 11328   sum_csu 11403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-isom 5247  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-frec 6420  df-1o 6445  df-oadd 6449  df-er 6563  df-en 6771  df-dom 6772  df-fin 6773  df-sup 7017  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-le 8034  df-sub 8166  df-neg 8167  df-reap 8568  df-ap 8575  df-div 8666  df-inn 8956  df-2 9014  df-3 9015  df-4 9016  df-n0 9213  df-z 9290  df-uz 9565  df-q 9657  df-rp 9691  df-fz 10046  df-fzo 10180  df-seqfrec 10486  df-exp 10561  df-ihash 10798  df-cj 10893  df-re 10894  df-im 10895  df-rsqrt 11049  df-abs 11050  df-clim 11329  df-sumdc 11404

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11585