Theorem isumlessdc 11517

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.dc	|- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumlessdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumlessdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2		isumless.dc	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
3	1	sselda 3167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
4		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
5	4	recnd 7999	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
6	3, 5	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7	6	ralrimiva 2560	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
8		isumless.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		isumless.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3223	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2254	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 734	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	rgen 2540	. . . . . 6 |- A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1178	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 734	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 2, 7, 20	isumss2 11414	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
23		isumless.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23, 4	eqeltrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		0red 7971	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. RR )
27	2	r19.21bi 2575	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
28	25, 26, 27	ifcldadc 3575	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR )
29		eleq1w 2248	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
30		fveq2 5527	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
31	29, 30	ifbieq1d 3568	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
32		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
33	31, 32	fvmptg 5605	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
34	22, 28, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
35	23	ifeq1d 3563	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
36	34, 35	eqtrd 2220	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
37	35, 28	eqeltrrd 2265	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
38	4	leidd 8484	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B <_ B )
39		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
40		breq1 4018	. . . . 5 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
41		breq1 4018	. . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
42	40, 41	ifbothdc 3579	. . . 4 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B /\ DECID k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
43	38, 39, 27, 42	syl3anc 1248	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
44		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
45	13, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
46	9, 8, 44, 1, 45, 36, 6	fsum3cvg3 11417	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
47		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
48	9, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47	isumle 11516	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
49	21, 48	eqbrtrd 4037	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   C_ wss 3141   ifcif 3546   class class class wbr 4015   |-> cmpt 4076   dom cdm 4638   ` cfv 5228   Fincfn 6753   CCcc 7822   RRcr 7823   0cc0 7824   + caddc 7827   <_ cle 8006   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   seqcseq 10458   ~~> cli 11299   sum_csu 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11556