Theorem isumlessdc 11639

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.dc	|- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumlessdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumlessdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2		isumless.dc	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
3	1	sselda 3179	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
4		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
5	4	recnd 8048	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
6	3, 5	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7	6	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
8		isumless.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		isumless.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3235	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 734	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	rgen 2547	. . . . . 6 |- A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1179	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 734	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 2, 7, 20	isumss2 11536	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
23		isumless.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23, 4	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		0red 8020	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. RR )
27	2	r19.21bi 2582	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
28	25, 26, 27	ifcldadc 3586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR )
29		eleq1w 2254	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
30		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
31	29, 30	ifbieq1d 3579	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
32		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
33	31, 32	fvmptg 5633	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
34	22, 28, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
35	23	ifeq1d 3574	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
36	34, 35	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
37	35, 28	eqeltrrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
38	4	leidd 8533	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B <_ B )
39		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
40		breq1 4032	. . . . 5 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
41		breq1 4032	. . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
42	40, 41	ifbothdc 3590	. . . 4 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B /\ DECID k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
43	38, 39, 27, 42	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
44		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
45	13, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
46	9, 8, 44, 1, 45, 36, 6	fsum3cvg3 11539	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
47		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
48	9, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47	isumle 11638	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
49	21, 48	eqbrtrd 4051	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659   ` cfv 5254   Fincfn 6794   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518   ~~> cli 11421   sum_csu 11496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11678