ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumlessdc Unicode version

Theorem isumlessdc 10953
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumless.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumless.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
isumless.4  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
isumless.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
isumless.dc  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
isumless.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
isumless.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
isumless.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
isumlessdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem isumlessdc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
2 isumless.dc . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z DECID  k  e.  A )
31sselda 3028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  Z )
4 isumless.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
54recnd 7579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
63, 5syldan 277 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
76ralrimiva 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8 isumless.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 isumless.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
109eqimssi 3083 . . . . . 6  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
129eleq2i 2155 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
1413orcd 688 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z )
)
15 df-dc 782 . . . . . . . 8  |-  (DECID  k  e.  Z  <->  ( k  e.  Z  \/  -.  k  e.  Z ) )
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  -> DECID  k  e.  Z
)
1716rgen 2429 . . . . . 6  |-  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z
1817a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )
198, 11, 183jca 1124 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z ) )
2019orcd 688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  k  e.  Z )  \/  Z  e.  Fin ) )
211, 2, 7, 20isumss2 10848 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
22 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
23 isumless.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
2423, 4eqeltrd 2165 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
2524adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
26 0red 7552 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  -.  k  e.  A )  ->  0  e.  RR )
272r19.21bi 2462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  -> DECID  k  e.  A
)
2825, 26, 27ifcldadc 3426 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  RR )
29 eleq1w 2149 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
30 fveq2 5320 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
3129, 30ifbieq1d 3419 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A , 
( F `  k
) ,  0 ) )
32 eqid 2089 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )  =  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) )
3331, 32fvmptg 5395 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Z  /\  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  RR )  ->  ( ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A , 
( F `  j
) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
3422, 28, 33syl2anc 404 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
3523ifeq1d 3414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3634, 35eqtrd 2121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `
 j ) ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
3735, 28eqeltrrd 2166 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR )
384leidd 8055 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  <_  B )
39 isumless.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  0  <_  B )
40 breq1 3856 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( B  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
41 breq1 3856 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B ) )
4240, 41ifbothdc 3429 . . . 4  |-  ( ( B  <_  B  /\  0  <_  B  /\ DECID  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
4338, 39, 27, 42syl3anc 1175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  B )
44 isumless.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4513, 27sylan2 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  k  e.  A
)
469, 8, 44, 1, 45, 36, 6fsum3cvg3 10852 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  if ( j  e.  A ,  ( F `  j ) ,  0 ) ) )  e.  dom  ~~>  )
47 isumless.8 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
489, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47isumle 10952 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <_  sum_ k  e.  Z  B )
4921, 48eqbrtrd 3873 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 665  DECID wdc 781    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360    C_ wss 3002   ifcif 3399   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907   dom cdm 4454   ` cfv 5030   Fincfn 6513   CCcc 7411   RRcr 7412   0cc0 7413    + caddc 7416    <_ cle 7586   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082    seqcseq 9915    ~~> cli 10729   sum_csu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by:  mertenslemi1  10992
  Copyright terms: Public domain W3C validator