Theorem isumlessdc 11749

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.dc	|- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumlessdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumlessdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2		isumless.dc	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
3	1	sselda 3192	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
4		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
5	4	recnd 8100	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
6	3, 5	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7	6	ralrimiva 2578	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
8		isumless.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		isumless.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3248	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 734	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 836	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	rgen 2558	. . . . . 6 |- A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1179	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 734	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 2, 7, 20	isumss2 11646	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
22		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
23		isumless.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23, 4	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
25	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		0red 8072	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. RR )
27	2	r19.21bi 2593	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
28	25, 26, 27	ifcldadc 3599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR )
29		eleq1w 2265	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
30		fveq2 5575	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
31	29, 30	ifbieq1d 3592	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
32		eqid 2204	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
33	31, 32	fvmptg 5654	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
34	22, 28, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
35	23	ifeq1d 3587	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
36	34, 35	eqtrd 2237	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
37	35, 28	eqeltrrd 2282	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
38	4	leidd 8586	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B <_ B )
39		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
40		breq1 4046	. . . . 5 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
41		breq1 4046	. . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
42	40, 41	ifbothdc 3604	. . . 4 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B /\ DECID k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
43	38, 39, 27, 42	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
44		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
45	13, 27	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
46	9, 8, 44, 1, 45, 36, 6	fsum3cvg3 11649	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
47		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
48	9, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47	isumle 11748	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
49	21, 48	eqbrtrd 4065	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   ifcif 3570   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   dom cdm 4674   ` cfv 5270   Fincfn 6826   CCcc 7922   RRcr 7923   0cc0 7924   + caddc 7927   <_ cle 8107   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   seqcseq 10590   ~~> cli 11531   sum_csu 11606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11788