Theorem isumlessdc 11459

Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumless.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isumless.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
isumless.3	|- ( ph -> A e. Fin )
isumless.4	|- ( ph -> A C_ Z )
isumless.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
isumless.dc	|- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
isumless.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
isumless.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
isumless.8	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
isumlessdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   ph, k   k, Z

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem isumlessdc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumless.4	. . 3 |- ( ph -> A C_ Z )
2		isumless.dc	. . 3 |- ( ph -> A. k e. Z DECID k e. A )
3	1	sselda 3147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. Z )
4		isumless.6	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
5	4	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. CC )
6	3, 5	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7	6	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
8		isumless.2	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		isumless.1	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10	9	eqimssi 3203	. . . . . 6 |- Z C_ ( ZZ>= ` M )
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Z C_ ( ZZ>= ` M ) )
12	9	eleq2i 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
13	12	biimpri 132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
14	13	orcd 728	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
15		df-dc 830	. . . . . . . 8 |- (DECID k e. Z <-> ( k e. Z \/ -. k e. Z ) )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> DECID k e. Z )
17	16	rgen 2523	. . . . . 6 |- A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z )
19	8, 11, 18	3jca 1172	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) )
20	19	orcd 728	. . 3 |- ( ph -> ( ( M e. ZZ /\ Z C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. k e. ( ZZ>= ` M )DECID k e. Z ) \/ Z e. Fin ) )
21	1, 2, 7, 20	isumss2 11356	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) )
22		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. Z )
23		isumless.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = B )
24	23, 4	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
25	24	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		0red 7921	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. Z ) /\ -. k e. A ) -> 0 e. RR )
27	2	r19.21bi 2558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> DECID k e. A )
28	25, 26, 27	ifcldadc 3555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR )
29		eleq1w 2231	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
30		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
31	29, 30	ifbieq1d 3548	. . . . . 6 |- ( j = k -> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
32		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) = ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) )
33	31, 32	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( k e. Z /\ if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) e. RR ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
34	22, 28, 33	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) )
35	23	ifeq1d 3543	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , ( F ` k ) , 0 ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
36	34, 35	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
37	35, 28	eqeltrrd 2248	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. RR )
38	4	leidd 8433	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B <_ B )
39		isumless.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ B )
40		breq1 3992	. . . . 5 |- ( B = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( B <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
41		breq1 3992	. . . . 5 |- ( 0 = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B ) )
42	40, 41	ifbothdc 3558	. . . 4 |- ( ( B <_ B /\ 0 <_ B /\ DECID k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
43	38, 39, 27, 42	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> if ( k e. A , B , 0 ) <_ B )
44		isumless.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
45	13, 27	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
46	9, 8, 44, 1, 45, 36, 6	fsum3cvg3 11359	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , ( j e. Z |-> if ( j e. A , ( F ` j ) , 0 ) ) ) e. dom ~~> )
47		isumless.8	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
48	9, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47	isumle 11458	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. Z if ( k e. A , B , 0 ) <_ sum_ k e. Z B )
49	21, 48	eqbrtrd 4011	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B <_ sum_ k e. Z B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   dom cdm 4611   ` cfv 5198   Fincfn 6718   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  mertenslemi1  11498