Theorem imval 11528

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Proof of Theorem imval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8218	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
4		iap0 9457	. . . . . 6 ⊢ i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i # 0)
6	1, 3, 5	divclapd 9060	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
7		reval 11527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
9		cjcl 11526	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcld 8289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 12	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
14		oveq1 6056	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / i) = (𝐴 / i))
15	14	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘(𝑥 / i)) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
16		df-im 11522	. . 3 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
17	15, 16	fvmptg 5752	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
18	13, 17	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  ici 8125   + caddc 8126   # cap 8851   / cdiv 8942  2c2 9284  ∗ccj 11517  ℜcre 11518  ℑcim 11519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-2 9292  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522

This theorem is referenced by:  imre  11529  reim  11530  imf  11534  crim  11536