Theorem imval 11433

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Proof of Theorem imval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8132	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
4		iap0 9372	. . . . . 6 ⊢ i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i # 0)
6	1, 3, 5	divclapd 8975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
7		reval 11432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
9		cjcl 11431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcld 8204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9394	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 12	eqeltrd 2307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
14		oveq1 6030	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / i) = (𝐴 / i))
15	14	fveq2d 5646	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘(𝑥 / i)) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
16		df-im 11427	. . 3 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
17	15, 16	fvmptg 5725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
18	13, 17	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  ici 8039   + caddc 8040   # cap 8766   / cdiv 8857  2c2 9199  ∗ccj 11422  ℜcre 11423  ℑcim 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-2 9207  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427

This theorem is referenced by:  imre  11434  reim  11435  imf  11439  crim  11441