Theorem imval 11563

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Proof of Theorem imval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8238	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
4		iap0 9481	. . . . . 6 ⊢ i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i # 0)
6	1, 3, 5	divclapd 9084	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
7		reval 11562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
9		cjcl 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcld 8309	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 12	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
14		oveq1 6065	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / i) = (𝐴 / i))
15	14	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘(𝑥 / i)) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
16		df-im 11557	. . 3 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
17	15, 16	fvmptg 5758	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
18	13, 17	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  ici 8145   + caddc 8146   # cap 8873   / cdiv 8966  2c2 9308  ∗ccj 11552  ℜcre 11553  ℑcim 11554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-2 9316  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557

This theorem is referenced by:  imre  11564  reim  11565  imf  11569  crim  11571