Theorem imval 11617

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Proof of Theorem imval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8274	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
4		iap0 9530	. . . . . 6 ⊢ i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i # 0)
6	1, 3, 5	divclapd 9121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
7		reval 11616	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
9		cjcl 11615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcld 8345	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 12	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
14		oveq1 6092	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / i) = (𝐴 / i))
15	14	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘(𝑥 / i)) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
16		df-im 11611	. . 3 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
17	15, 16	fvmptg 5781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
18	13, 17	mpdan 425	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  ici 8181   + caddc 8182   # cap 8910   / cdiv 9003  2c2 9356  ∗ccj 11606  ℜcre 11607  ℑcim 11608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-2 9364  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611

This theorem is used by:  imre  11618  reim  11619  imf  11623  crim  11625