Theorem imval 11638

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

Proof of Theorem imval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 8281	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
4		iap0 9540	. . . . . 6 ⊢ i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i # 0)
6	1, 3, 5	divclapd 9129	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
7		reval 11637	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2))
9		cjcl 11636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
11	6, 10	addcld 8352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) + (∗‘(𝐴 / i))) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 12	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ)
14		oveq1 6095	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 / i) = (𝐴 / i))
15	14	fveq2d 5702	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘(𝑥 / i)) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
16		df-im 11632	. . 3 ⊢ ℑ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘(𝑥 / i)))
17	15, 16	fvmptg 5784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 / i)) ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
18	13, 17	mpdan 425	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  ici 8188   + caddc 8189   # cap 8918   / cdiv 9011  2c2 9365  ∗ccj 11627  ℜcre 11628  ℑcim 11629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-2 9373  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632

This theorem is used by:  imre  11639  reim  11640  imf  11644  crim  11646