Theorem divge0 8928

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 8926	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ A <-> 0 <_ ( A / B ) ) )
2	1	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ 0 < B ) -> ( 0 <_ A -> 0 <_ ( A / B ) ) )
3	2	3exp 1204	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 < B -> ( 0 <_ A -> 0 <_ ( A / B ) ) ) ) )
4	3	com34 83	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( 0 <_ A -> ( 0 < B -> 0 <_ ( A / B ) ) ) ) )
5	4	com23 78	. 2 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( B e. RR -> ( 0 < B -> 0 <_ ( A / B ) ) ) ) )
6	5	imp43 355	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   RRcr 7906   0cc0 7907   < clt 8089   <_ cle 8090   / cdiv 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728

This theorem is referenced by:  ledivp1  8958  divge0i  8966  divge0d  9841  divelunit  10106  adddivflid  10416  fldiv4p1lem1div2  10429  modqid  10475  modqmuladdnn0  10494  sqrtdiv  11272  efcllemp  11888  ege2le3  11901  flodddiv4  12166  hashgcdlem  12479  fldivp1  12590  4sqlem14  12646  gausslemma2dlem0d  15447