Theorem cvgratnnlemfm 11675

Description: Lemma for cvgratnn 11677. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemfm.m	|- ( ph -> M e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemfm	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
2	1	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
3		cvgratnn.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
4	3	ralrimiva 2567	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
5		cvgratnnlemfm.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2870	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
7	6	abscld 11328	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
8		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
9		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
10	8, 9	gt0ap0d 8650	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
11	8, 10	rerecclapd 8855	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
12		1red 8036	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	11, 12	resubcld 8402	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR )
14		cvgratnn.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < 1 )
15	8, 9	elrpd 9762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	reclt1d 9779	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < 1 <-> 1 < ( 1 / A ) ) )
17	14, 16	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 1 / A ) )
18	12, 11	posdifd 8553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / A ) <-> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) ) )
19	17, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) )
20	13, 19	elrpd 9762	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9776	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR+ )
22	21, 15	rpdivcld 9783	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR+ )
23	22	rpred 9765	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR )
24		fveq2 5555	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
25	24	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
26		1nn 8995	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	25, 4, 27	rspcdva 2870	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
29	28	abscld 11328	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
30	23, 29	remulcld 8052	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) e. RR )
31	30, 5	nndivred 9034	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) e. RR )
32		peano2re 8157	. . . . 5 |- ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
33	29, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
34	23, 33	remulcld 8052	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) e. RR )
35	34, 5	nndivred 9034	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) e. RR )
36		nnm1nn0 9284	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
37	5, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
38	8, 37	reexpcld 10764	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. RR )
39	29, 38	remulcld 8052	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) e. RR )
40		cvgratnn.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
41	8, 14, 9, 3, 40, 5	cvgratnnlemnexp 11670	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) )
42	23, 5	nndivred 9034	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) e. RR )
43	28	absge0d 11331	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
44	8	recnd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
45	5	nnzd 9441	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
46	44, 10, 45	expm1apd 10757	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) = ( ( A ^ M ) / A ) )
47	5	nnnn0d 9296	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
48	8, 47	reexpcld 10764	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
49	21	rpred 9765	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR )
50	49, 5	nndivred 9034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) e. RR )
51	8, 14, 9, 5	cvgratnnlembern 11669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) )
52	48, 50, 15, 51	ltdiv1dd 9823	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) / A ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
53	46, 52	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
54	49	recnd 8050	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. CC )
55	5	nncnd 8998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
56	5	nnap0d 9030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M # 0 )
57	54, 55, 44, 56, 10	divdiv32apd 8837	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
58	53, 57	breqtrd 4056	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
59	38, 42, 58	ltled 8140	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) <_ ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
60	38, 42, 29, 43, 59	lemul2ad 8961	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
61	29	recnd 8050	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
62	23	recnd 8050	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. CC )
63	61, 62	mulcomd 8043	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) )
64	63	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
65	61, 62, 55, 56	divassapd 8847	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
66	64, 65	eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
67	60, 66	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
68	7, 39, 31, 41, 67	letrd 8145	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
69	5	nnrpd 9763	. . 3 |- ( ph -> M e. RR+ )
70	29	ltp1d 8951	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) < ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) )
71	29, 33, 22, 70	ltmul2dd 9822	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) )
72	30, 34, 69, 71	ltdiv1dd 9823	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )
73	7, 31, 35, 68, 72	lelttrd 8146	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   / cdiv 8693   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ^cexp 10612   abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11676