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Theorem cvgratnnlemfm 11266
Description: Lemma for cvgratnn 11268. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnnlemfm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5389 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
21eleq1d 2186 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
3 cvgratnn.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
43ralrimiva 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
62, 4, 5rspcdva 2768 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
76abscld 10921 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  A )
108, 9gt0ap0d 8359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
118, 10rerecclapd 8561 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
12 1red 7749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1311, 12resubcld 8111 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR )
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
158, 9elrpd 9449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1615reclt1d 9465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  1  <->  1  <  ( 1  /  A ) ) )
1714, 16mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  A ) )
1812, 11posdifd 8262 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  A )  <->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) ) )
1917, 18mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )
2013, 19elrpd 9449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR+ )
2120rpreccld 9462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR+ )
2221, 15rpdivcld 9469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR+ )
2322rpred 9451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR )
24 fveq2 5389 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2524eleq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  1 )  e.  CC ) )
26 1nn 8699 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
2825, 4, 27rspcdva 2768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
2928abscld 10921 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  RR )
3023, 29remulcld 7764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  e.  RR )
3130, 5nndivred 8738 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  e.  RR )
32 peano2re 7866 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3329, 32syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3423, 33remulcld 7764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  e.  RR )
3534, 5nndivred 8738 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  /  M )  e.  RR )
36 nnm1nn0 8986 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
375, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
388, 37reexpcld 10409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  e.  RR )
3929, 38remulcld 7764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  e.  RR )
40 cvgratnn.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  x.  ( A ^ ( M  -  1 ) ) ) )
4223, 5nndivred 8738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  /  M
)  e.  RR )
4328absge0d 10924 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  1
) ) )
448recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
455nnzd 9140 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4644, 10, 45expm1apd 10402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  =  ( ( A ^ M )  /  A ) )
475nnnn0d 8998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
488, 47reexpcld 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  RR )
4921rpred 9451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5049, 5nndivred 8738 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M
)  e.  RR )
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( (
1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M ) )
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9509 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  /  A
)  <  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5346, 52eqbrtrd 3920 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5449recnd 7762 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  CC )
555nncnd 8702 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
565nnap0d 8734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M #  0 )
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8544 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  M )  /  A
)  =  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5853, 57breqtrd 3924 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5938, 42, 58ltled 7849 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <_  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6129recnd 7762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  CC )
6223recnd 7762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 7755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) ) )
6463oveq1d 5757 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
6561, 62, 55, 56divassapd 8554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6664, 65eqtr3d 2152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  =  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  /  M ) ) )
6760, 66breqtrrd 3926 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
687, 39, 31, 41, 67letrd 7854 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( abs `  ( F `  1
) ) )  /  M ) )
695nnrpd 9450 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
7029ltp1d 8656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  <  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  +  1 ) )
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  <  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) ) )
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 7855 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901    / cdiv 8400   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ^cexp 10260   abscabs 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11267
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