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Theorem cvgratnnlemfm 11532
Description: Lemma for cvgratnn 11534. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnnlemfm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5515 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
21eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
3 cvgratnn.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
43ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
62, 4, 5rspcdva 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
76abscld 11185 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  A )
108, 9gt0ap0d 8584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
118, 10rerecclapd 8789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
12 1red 7971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1311, 12resubcld 8336 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR )
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
158, 9elrpd 9691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1615reclt1d 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  1  <->  1  <  ( 1  /  A ) ) )
1714, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  A ) )
1812, 11posdifd 8487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  A )  <->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) ) )
1917, 18mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )
2013, 19elrpd 9691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR+ )
2120rpreccld 9705 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR+ )
2221, 15rpdivcld 9712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR+ )
2322rpred 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR )
24 fveq2 5515 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2524eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  1 )  e.  CC ) )
26 1nn 8928 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
2825, 4, 27rspcdva 2846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
2928abscld 11185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  RR )
3023, 29remulcld 7986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  e.  RR )
3130, 5nndivred 8967 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  e.  RR )
32 peano2re 8091 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3329, 32syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3423, 33remulcld 7986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  e.  RR )
3534, 5nndivred 8967 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  /  M )  e.  RR )
36 nnm1nn0 9215 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
375, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
388, 37reexpcld 10667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  e.  RR )
3929, 38remulcld 7986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  e.  RR )
40 cvgratnn.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  x.  ( A ^ ( M  -  1 ) ) ) )
4223, 5nndivred 8967 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  /  M
)  e.  RR )
4328absge0d 11188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  1
) ) )
448recnd 7984 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
455nnzd 9372 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4644, 10, 45expm1apd 10660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  =  ( ( A ^ M )  /  A ) )
475nnnn0d 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
488, 47reexpcld 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  RR )
4921rpred 9694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5049, 5nndivred 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M
)  e.  RR )
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( (
1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M ) )
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9752 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  /  A
)  <  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5346, 52eqbrtrd 4025 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5449recnd 7984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  CC )
555nncnd 8931 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
565nnap0d 8963 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M #  0 )
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8771 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  M )  /  A
)  =  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5853, 57breqtrd 4029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5938, 42, 58ltled 8074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <_  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8895 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6129recnd 7984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  CC )
6223recnd 7984 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 7977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) ) )
6463oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
6561, 62, 55, 56divassapd 8781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6664, 65eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  =  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  /  M ) ) )
6760, 66breqtrrd 4031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
687, 39, 31, 41, 67letrd 8079 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( abs `  ( F `  1
) ) )  /  M ) )
695nnrpd 9692 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
7029ltp1d 8885 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  <  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  +  1 ) )
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  <  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) ) )
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9752 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 8080 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7990    <_ cle 7991    - cmin 8126    / cdiv 8627   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ^cexp 10516   abscabs 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11533
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