Theorem cvgratnnlemfm 11470

Description: Lemma for cvgratnn 11472. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemfm.m	|- ( ph -> M e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemfm	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5486	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
2	1	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
3		cvgratnn.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
4	3	ralrimiva 2539	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
5		cvgratnnlemfm.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
7	6	abscld 11123	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
8		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
9		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
10	8, 9	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
11	8, 10	rerecclapd 8730	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
12		1red 7914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	11, 12	resubcld 8279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR )
14		cvgratnn.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < 1 )
15	8, 9	elrpd 9629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	reclt1d 9646	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < 1 <-> 1 < ( 1 / A ) ) )
17	14, 16	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 1 / A ) )
18	12, 11	posdifd 8430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / A ) <-> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) ) )
19	17, 18	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) )
20	13, 19	elrpd 9629	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR+ )
22	21, 15	rpdivcld 9650	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR+ )
23	22	rpred 9632	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR )
24		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
25	24	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
26		1nn 8868	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	25, 4, 27	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
29	28	abscld 11123	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
30	23, 29	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) e. RR )
31	30, 5	nndivred 8907	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) e. RR )
32		peano2re 8034	. . . . 5 |- ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
33	29, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
34	23, 33	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) e. RR )
35	34, 5	nndivred 8907	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) e. RR )
36		nnm1nn0 9155	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
37	5, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
38	8, 37	reexpcld 10605	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. RR )
39	29, 38	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) e. RR )
40		cvgratnn.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
41	8, 14, 9, 3, 40, 5	cvgratnnlemnexp 11465	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) )
42	23, 5	nndivred 8907	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) e. RR )
43	28	absge0d 11126	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
44	8	recnd 7927	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
45	5	nnzd 9312	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
46	44, 10, 45	expm1apd 10598	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) = ( ( A ^ M ) / A ) )
47	5	nnnn0d 9167	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
48	8, 47	reexpcld 10605	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
49	21	rpred 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR )
50	49, 5	nndivred 8907	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) e. RR )
51	8, 14, 9, 5	cvgratnnlembern 11464	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) )
52	48, 50, 15, 51	ltdiv1dd 9690	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) / A ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
53	46, 52	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
54	49	recnd 7927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. CC )
55	5	nncnd 8871	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
56	5	nnap0d 8903	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M # 0 )
57	54, 55, 44, 56, 10	divdiv32apd 8712	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
58	53, 57	breqtrd 4008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
59	38, 42, 58	ltled 8017	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) <_ ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
60	38, 42, 29, 43, 59	lemul2ad 8835	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
61	29	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
62	23	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. CC )
63	61, 62	mulcomd 7920	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) )
64	63	oveq1d 5857	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
65	61, 62, 55, 56	divassapd 8722	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
66	64, 65	eqtr3d 2200	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
67	60, 66	breqtrrd 4010	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
68	7, 39, 31, 41, 67	letrd 8022	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
69	5	nnrpd 9630	. . 3 |- ( ph -> M e. RR+ )
70	29	ltp1d 8825	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) < ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) )
71	29, 33, 22, 70	ltmul2dd 9689	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) )
72	30, 34, 69, 71	ltdiv1dd 9690	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )
73	7, 31, 35, 68, 72	lelttrd 8023	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ^cexp 10454   abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11471