Theorem cvgratnnlemfm 12040

Description: Lemma for cvgratnn 12042. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemfm.m	|- ( ph -> M e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemfm	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5627	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
2	1	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
3		cvgratnn.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
4	3	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
5		cvgratnnlemfm.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2912	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
7	6	abscld 11692	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
8		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
9		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
10	8, 9	gt0ap0d 8776	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
11	8, 10	rerecclapd 8981	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
12		1red 8161	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	11, 12	resubcld 8527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR )
14		cvgratnn.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < 1 )
15	8, 9	elrpd 9889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	reclt1d 9906	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < 1 <-> 1 < ( 1 / A ) ) )
17	14, 16	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 1 / A ) )
18	12, 11	posdifd 8679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / A ) <-> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) ) )
19	17, 18	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) )
20	13, 19	elrpd 9889	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR+ )
22	21, 15	rpdivcld 9910	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR+ )
23	22	rpred 9892	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR )
24		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
25	24	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
26		1nn 9121	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	25, 4, 27	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
29	28	abscld 11692	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
30	23, 29	remulcld 8177	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) e. RR )
31	30, 5	nndivred 9160	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) e. RR )
32		peano2re 8282	. . . . 5 |- ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
33	29, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
34	23, 33	remulcld 8177	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) e. RR )
35	34, 5	nndivred 9160	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) e. RR )
36		nnm1nn0 9410	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
37	5, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
38	8, 37	reexpcld 10912	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. RR )
39	29, 38	remulcld 8177	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) e. RR )
40		cvgratnn.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
41	8, 14, 9, 3, 40, 5	cvgratnnlemnexp 12035	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) )
42	23, 5	nndivred 9160	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) e. RR )
43	28	absge0d 11695	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
44	8	recnd 8175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
45	5	nnzd 9568	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
46	44, 10, 45	expm1apd 10905	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) = ( ( A ^ M ) / A ) )
47	5	nnnn0d 9422	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
48	8, 47	reexpcld 10912	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
49	21	rpred 9892	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR )
50	49, 5	nndivred 9160	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) e. RR )
51	8, 14, 9, 5	cvgratnnlembern 12034	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) )
52	48, 50, 15, 51	ltdiv1dd 9950	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) / A ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
53	46, 52	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
54	49	recnd 8175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. CC )
55	5	nncnd 9124	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
56	5	nnap0d 9156	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M # 0 )
57	54, 55, 44, 56, 10	divdiv32apd 8963	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
58	53, 57	breqtrd 4109	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
59	38, 42, 58	ltled 8265	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) <_ ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
60	38, 42, 29, 43, 59	lemul2ad 9087	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
61	29	recnd 8175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
62	23	recnd 8175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. CC )
63	61, 62	mulcomd 8168	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) )
64	63	oveq1d 6016	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
65	61, 62, 55, 56	divassapd 8973	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
66	64, 65	eqtr3d 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
67	60, 66	breqtrrd 4111	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
68	7, 39, 31, 41, 67	letrd 8270	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
69	5	nnrpd 9890	. . 3 |- ( ph -> M e. RR+ )
70	29	ltp1d 9077	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) < ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) )
71	29, 33, 22, 70	ltmul2dd 9949	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) )
72	30, 34, 69, 71	ltdiv1dd 9950	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )
73	7, 31, 35, 68, 72	lelttrd 8271	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ^cexp 10760   abscabs 11508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  12041