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Theorem cvgratnnlemfm 11539
Description: Lemma for cvgratnn 11541. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnnlemfm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemfm  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5517 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
21eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
3 cvgratnn.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
43ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
5 cvgratnnlemfm.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
62, 4, 5rspcdva 2848 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
76abscld 11192 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
8 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  A )
108, 9gt0ap0d 8588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A #  0 )
118, 10rerecclapd 8793 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
12 1red 7974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1311, 12resubcld 8340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR )
14 cvgratnn.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
158, 9elrpd 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1615reclt1d 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <  1  <->  1  <  ( 1  /  A ) ) )
1714, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  /  A ) )
1812, 11posdifd 8491 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
1  /  A )  <->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) ) )
1917, 18mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )
2013, 19elrpd 9695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  -  1 )  e.  RR+ )
2120rpreccld 9709 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR+ )
2221, 15rpdivcld 9716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR+ )
2322rpred 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  RR )
24 fveq2 5517 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2524eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  1 )  e.  CC ) )
26 1nn 8932 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
2825, 4, 27rspcdva 2848 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
2928abscld 11192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  RR )
3023, 29remulcld 7990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  e.  RR )
3130, 5nndivred 8971 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  e.  RR )
32 peano2re 8095 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3329, 32syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 )  e.  RR )
3423, 33remulcld 7990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  (
( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  e.  RR )
3534, 5nndivred 8971 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) )  /  M )  e.  RR )
36 nnm1nn0 9219 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
375, 36syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
388, 37reexpcld 10673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  e.  RR )
3929, 38remulcld 7990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  e.  RR )
40 cvgratnn.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
418, 14, 9, 3, 40, 5cvgratnnlemnexp 11534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  x.  ( A ^ ( M  -  1 ) ) ) )
4223, 5nndivred 8971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  /  M
)  e.  RR )
4328absge0d 11195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  1
) ) )
448recnd 7988 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
455nnzd 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4644, 10, 45expm1apd 10666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  =  ( ( A ^ M )  /  A ) )
475nnnn0d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
488, 47reexpcld 10673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  e.  RR )
4921rpred 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5049, 5nndivred 8971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M
)  e.  RR )
518, 14, 9, 5cvgratnnlembern 11533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ^ M
)  <  ( (
1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  M ) )
5248, 50, 15, 51ltdiv1dd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A ^ M )  /  A
)  <  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5346, 52eqbrtrd 4027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  M )  /  A ) )
5449recnd 7988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  e.  CC )
555nncnd 8935 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
565nnap0d 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M #  0 )
5754, 55, 44, 56, 10divdiv32apd 8775 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  M )  /  A
)  =  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5853, 57breqtrd 4031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
5938, 42, 58ltled 8078 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  1 ) )  <_  ( (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  /  M ) )
6038, 42, 29, 43, 59lemul2ad 8899 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6129recnd 7988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  e.  CC )
6223recnd 7988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  e.  CC )
6361, 62mulcomd 7981 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) ) )
6463oveq1d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
6561, 62, 55, 56divassapd 8785 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A ) )  /  M )  =  ( ( abs `  ( F `  1
) )  x.  (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  /  M ) ) )
6664, 65eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  =  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  x.  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  /  M ) ) )
6760, 66breqtrrd 4033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  x.  ( A ^ ( M  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( ( 1  /  (
( 1  /  A
)  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
) )
687, 39, 31, 41, 67letrd 8083 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( abs `  ( F `  1
) ) )  /  M ) )
695nnrpd 9696 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
7029ltp1d 8889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  1 )
)  <  ( ( abs `  ( F ` 
1 ) )  +  1 ) )
7129, 33, 22, 70ltmul2dd 9755 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  - 
1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F ` 
1 ) ) )  <  ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( ( abs `  ( F `  1 )
)  +  1 ) ) )
7230, 34, 69, 71ltdiv1dd 9756 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  ( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A )  x.  ( abs `  ( F `  1 )
) )  /  M
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
737, 31, 35, 68, 72lelttrd 8084 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( 1  / 
( ( 1  /  A )  -  1 ) )  /  A
)  x.  ( ( abs `  ( F `
 1 ) )  +  1 ) )  /  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814    + caddc 7816    x. cmul 7818    < clt 7994    <_ cle 7995    - cmin 8130    / cdiv 8631   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ^cexp 10521   abscabs 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11540
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