Theorem cvgratnnlemfm 11492

Description: Lemma for cvgratnn 11494. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnnlemfm.m	|- ( ph -> M e. NN )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemfm	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
2	1	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
3		cvgratnn.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
4	3	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
5		cvgratnnlemfm.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
6	2, 4, 5	rspcdva 2839	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
7	6	abscld 11145	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
8		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
9		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < A )
10	8, 9	gt0ap0d 8548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A # 0 )
11	8, 10	rerecclapd 8751	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. RR )
12		1red 7935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR )
13	11, 12	resubcld 8300	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR )
14		cvgratnn.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < 1 )
15	8, 9	elrpd 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	reclt1d 9667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < 1 <-> 1 < ( 1 / A ) ) )
17	14, 16	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 1 / A ) )
18	12, 11	posdifd 8451	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 1 / A ) <-> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) ) )
19	17, 18	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 1 / A ) - 1 ) )
20	13, 19	elrpd 9650	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / A ) - 1 ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR+ )
22	21, 15	rpdivcld 9671	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR+ )
23	22	rpred 9653	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. RR )
24		fveq2 5496	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
25	24	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` 1 ) e. CC ) )
26		1nn 8889	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	25, 4, 27	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
29	28	abscld 11145	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR )
30	23, 29	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) e. RR )
31	30, 5	nndivred 8928	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) e. RR )
32		peano2re 8055	. . . . 5 |- ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
33	29, 32	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) e. RR )
34	23, 33	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) e. RR )
35	34, 5	nndivred 8928	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) e. RR )
36		nnm1nn0 9176	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
37	5, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
38	8, 37	reexpcld 10626	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) e. RR )
39	29, 38	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) e. RR )
40		cvgratnn.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
41	8, 14, 9, 3, 40, 5	cvgratnnlemnexp 11487	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) )
42	23, 5	nndivred 8928	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) e. RR )
43	28	absge0d 11148	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( F ` 1 ) ) )
44	8	recnd 7948	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
45	5	nnzd 9333	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
46	44, 10, 45	expm1apd 10619	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) = ( ( A ^ M ) / A ) )
47	5	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN0 )
48	8, 47	reexpcld 10626	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) e. RR )
49	21	rpred 9653	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. RR )
50	49, 5	nndivred 8928	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) e. RR )
51	8, 14, 9, 5	cvgratnnlembern 11486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ M ) < ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) )
52	48, 50, 15, 51	ltdiv1dd 9711	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ M ) / A ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
53	46, 52	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) )
54	49	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) e. CC )
55	5	nncnd 8892	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
56	5	nnap0d 8924	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M # 0 )
57	54, 55, 44, 56, 10	divdiv32apd 8733	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / M ) / A ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
58	53, 57	breqtrd 4015	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
59	38, 42, 58	ltled 8038	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ ( M - 1 ) ) <_ ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) )
60	38, 42, 29, 43, 59	lemul2ad 8856	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
61	29	recnd 7948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) e. CC )
62	23	recnd 7948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) e. CC )
63	61, 62	mulcomd 7941	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) = ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) )
64	63	oveq1d 5868	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
65	61, 62, 55, 56	divassapd 8743	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
66	64, 65	eqtr3d 2205	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) = ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) / M ) ) )
67	60, 66	breqtrrd 4017	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) x. ( A ^ ( M - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
68	7, 39, 31, 41, 67	letrd 8043	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) )
69	5	nnrpd 9651	. . 3 |- ( ph -> M e. RR+ )
70	29	ltp1d 8846	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 1 ) ) < ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) )
71	29, 33, 22, 70	ltmul2dd 9710	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) < ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) )
72	30, 34, 69, 71	ltdiv1dd 9711	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( abs ` ( F ` 1 ) ) ) / M ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )
73	7, 31, 35, 68, 72	lelttrd 8044	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) < ( ( ( ( 1 / ( ( 1 / A ) - 1 ) ) / A ) x. ( ( abs ` ( F ` 1 ) ) + 1 ) ) / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ^cexp 10475   abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11493