Theorem flqmulnn0 10371

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10345	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9442	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9693	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> A e. RR )
6		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9297	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. RR )
8	6	nn0ge0d 9299	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> 0 <_ N )
9		flqle 10350	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 8961	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) )
12		nn0z 9340	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		zq 9694	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. QQ )
15		qmulcl 9705	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
16	14, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
17		zmulcl 9373	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
19		flqge 10354	. . 3 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
21	11, 20	mpbid 147	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   x. cmul 7879   <_ cle 8057   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   QQcq 9687   |_cfl 10340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10416