Theorem flqmulnn0 10444

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10418	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9497	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9748	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> A e. RR )
6		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9351	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. RR )
8	6	nn0ge0d 9353	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> 0 <_ N )
9		flqle 10423	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 9015	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) )
12		nn0z 9394	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		zq 9749	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. QQ )
15		qmulcl 9760	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
16	14, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
17		zmulcl 9428	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
19		flqge 10427	. . 3 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
21	11, 20	mpbid 147	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   RRcr 7926   x. cmul 7932   <_ cle 8110   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   QQcq 9742   |_cfl 10413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-q 9743  df-rp 9778  df-fl 10415

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10489