Theorem flqmulnn0 10391

Description: Move a nonnegative integer in and out of a floor. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqmulnn0	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Proof of Theorem flqmulnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 10365	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 9450	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 9701	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> A e. RR )
6		simpl 109	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. NN0 )
7	6	nn0red 9305	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> N e. RR )
8	6	nn0ge0d 9307	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> 0 <_ N )
9		flqle 10370	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
11	3, 5, 7, 8, 10	lemul2ad 8969	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) )
12		nn0z 9348	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
13		zq 9702	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. QQ )
15		qmulcl 9713	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
16	14, 15	sylan 283	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. A ) e. QQ )
17		zmulcl 9381	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
18	12, 1, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ )
19		flqge 10374	. . 3 |- ( ( ( N x. A ) e. QQ /\ ( N x. ( |_ ` A ) ) e. ZZ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( N x. A ) <-> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) ) )
21	11, 20	mpbid 147	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. QQ ) -> ( N x. ( |_ ` A ) ) <_ ( |_ ` ( N x. A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   RRcr 7880   x. cmul 7886   <_ cle 8064   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   QQcq 9695   |_cfl 10360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-q 9696  df-rp 9731  df-fl 10362

This theorem is referenced by:  modqmulnn  10436