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Theorem leexp2r 10738
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )
Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5952 . . . . . . . 8 |- ( j = M -> ( A ^ j ) = ( A ^ M ) )
21breq1d 4054 . . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) )
32imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4 oveq2 5952 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
54breq1d 4054 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) )
65imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
7 oveq2 5952 . . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
87breq1d 4054 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
98imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
10 oveq2 5952 . . . . . . . 8 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
1110breq1d 4054 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
1211imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
13 reexpcl 10701 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1514leidd 8587 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) )
1615a1i 9 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) )
17 simprll 537 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. RR )
18 1red 8087 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
19 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> M e. NN0 )
20 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21 eluznn0 9720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
23 reexpcl 10701 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
2417, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
25 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ A )
26 expge0 10720 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
2717, 22, 25, 26syl3anc 1250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
28 simprrr 540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A <_ 1 )
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 9013 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( A ^ k ) x. 1 ) )
3017recnd 8101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. CC )
31 expp1 10691 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
3230, 22, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
3324recnd 8101 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
3433mulridd 8089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. 1 ) = ( A ^ k ) )
3534eqcomd 2211 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) = ( ( A ^ k ) x. 1 ) )
3629, 32, 353brtr4d 4076 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) )
37 peano2nn0 9335 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
3822, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
39 reexpcl 10701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
4017, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
4113ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
42 letr 8155 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( A ^ k ) e. RR /\ ( A ^ M ) e. RR ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4340, 24, 41, 42syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4436, 43mpand 429 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4544ex 115 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4645a2d 26 . . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 9709 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
4847expd 258 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4948com12 30 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
50493impia 1203 . 2 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
5150imp 124 1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   <_ cle 8108   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ^cexp 10683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-exp 10684
This theorem is referenced by:  exple1  10740  leexp2rd  10848
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