ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir GIF version
Theorem lmodsubdir 13529
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
lmodsubdir.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdir.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 13479 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 13248 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2187 . . . . . 6 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
119, 10grpinvcl 12944 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 eqid 2187 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2187 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 13496 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1250 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
20 eqid 2187 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
21 eqid 2187 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 13296 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅))
2322oveq1d 5903 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋))
249, 21ringidcl 13267 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
255, 24syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 12944 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 13497 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2222 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3130oveq2d 5904 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2220 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
349, 17, 10, 33grpsubval 12942 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
352, 8, 34syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
3635oveq1d 5903 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 13489 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 13489 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 13526 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1248 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2230 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  Grpcgrp 12898  invgcminusg 12899  -gcsg 12900  1rcur 13206  Ringcrg 13243  LModclmod 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator