Theorem lmodsubdir 14792

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
lmodsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 14741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
6		ringgrp 14413	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
11	9, 10	grpinvcl 13913	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 11	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13		lmodsubdir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 14759	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
21		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 14464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) = ((invg‘𝐹)‘𝐵))
23	22	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
24	9, 21	ringidcl 14433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
25	5, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	9, 10	grpinvcl 13913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
27	7, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 14760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
30	23, 29	eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
31	30	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
32	19, 31	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 13911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
35	2, 8, 34	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
36	35	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14751	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 14751	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41		lmodsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 14789	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  Scalarcsca 13494   ·_𝑠 cvsca 13495  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  -_gcsg 13867  1_rcur 14370  Ringcrg 14408  LModclmod 14733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-lmod 14735

This theorem is used by: (None)