ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir GIF version

Theorem lmodsubdir 13841
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m = (-g𝑊)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
lmodsubdir.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdir.b (𝜑𝐵𝐾)
lmodsubdir.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 13791 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 13497 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2193 . . . . . 6 (invg𝐹) = (invg𝐹)
119, 10grpinvcl 13120 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵𝐾) → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 eqid 2193 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2193 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 13808 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾𝑋𝑉)) → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1251 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20 eqid 2193 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
21 eqid 2193 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 13547 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) = ((invg𝐹)‘𝐵))
2322oveq1d 5933 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
249, 21ringidcl 13516 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
255, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 13120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 13809 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐵𝐾𝑋𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1251 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2228 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3130oveq2d 5934 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2226 . 2 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
349, 17, 10, 33grpsubval 13118 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
352, 8, 34syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
3635oveq1d 5933 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 13801 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 13801 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1249 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 13838 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1249 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2236 1 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2164  cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +gcplusg 12695  .rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   ·𝑠 cvsca 12699  Grpcgrp 13072  invgcminusg 13073  -gcsg 13074  1rcur 13455  Ringcrg 13492  LModclmod 13783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-lmod 13785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator