Theorem lmodsubdir 13844

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
lmodsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 13794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
6		ringgrp 13500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
11	9, 10	grpinvcl 13123	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13		lmodsubdir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 13811	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
21		eqid 2193	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 13550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) = ((invg‘𝐹)‘𝐵))
23	22	oveq1d 5934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
24	9, 21	ringidcl 13519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
25	5, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	9, 10	grpinvcl 13123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 13812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
30	23, 29	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
31	30	oveq2d 5935	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
32	19, 31	eqtrd 2226	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 13121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
35	2, 8, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
36	35	oveq1d 5934	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 13804	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 13804	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41		lmodsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 13841	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  Grpcgrp 13075  inv_gcminusg 13076  -_gcsg 13077  1_rcur 13458  Ringcrg 13495  LModclmod 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788

This theorem is referenced by: (None)