Theorem lss0v 14739

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lss0v.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0v.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
lss0v.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0v	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3561	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
2		lss0v.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5		lss0v.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 14738	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
7	1, 6	mp3an3 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
8	2, 5	lsslmod 14689	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
9		lss0v.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
10	9, 4	lsp0 14732	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
12		lss0v.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13	12, 3	lsp0 14732	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2279	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → {𝑍} = { 0 })
16	15	unieqd 3941	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = ∪ { 0 })
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
18	17, 9	lmod0vcl 14626	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑋))
19		unisng 3947	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑋) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
21		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
22	21, 12	lmod0vcl 14626	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
23		unisng 3947	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ { 0 } = 0 )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3705  ∪ cuni 3930  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330   ↾_s cress 13331  0_gc0g 13587  LModclmod 14596  LSubSpclss 14661  LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by: (None)