Theorem lss0v 14463

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lss0v.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0v.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
lss0v.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0v	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3533	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
2		lss0v.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5		lss0v.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 14462	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
7	1, 6	mp3an3 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
8	2, 5	lsslmod 14413	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
9		lss0v.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
10	9, 4	lsp0 14456	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
12		lss0v.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13	12, 3	lsp0 14456	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2272	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → {𝑍} = { 0 })
16	15	unieqd 3904	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = ∪ { 0 })
17		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
18	17, 9	lmod0vcl 14350	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑋))
19		unisng 3910	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑋) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
21		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
22	21, 12	lmod0vcl 14350	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
23		unisng 3910	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ { 0 } = 0 )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2272	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100   ↾_s cress 13101  0_gc0g 13357  LModclmod 14320  LSubSpclss 14385  LSpanclspn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-minusg 13605  df-sbg 13606  df-subg 13775  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-lmod 14322  df-lssm 14386  df-lsp 14420

This theorem is referenced by: (None)