Theorem lss0v 14267

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lss0v.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0v.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
lss0v.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0v	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3503	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
2		lss0v.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5		lss0v.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 14266	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
7	1, 6	mp3an3 1339	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
8	2, 5	lsslmod 14217	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
9		lss0v.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
10	9, 4	lsp0 14260	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
12		lss0v.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13	12, 3	lsp0 14260	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2247	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → {𝑍} = { 0 })
16	15	unieqd 3867	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = ∪ { 0 })
17		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
18	17, 9	lmod0vcl 14154	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑋))
19		unisng 3873	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑋) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
21		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
22	21, 12	lmod0vcl 14154	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
23		unisng 3873	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ { 0 } = 0 )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2247	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638  ∪ cuni 3856  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907   ↾_s cress 12908  0_gc0g 13163  LModclmod 14124  LSubSpclss 14189  LSpanclspn 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-sbg 13412  df-subg 13581  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-lmod 14126  df-lssm 14190  df-lsp 14224

This theorem is referenced by: (None)