Theorem lss0v 14409

Description: The zero vector in a submodule equals the zero vector in the including module. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss0v.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lss0v.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lss0v.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
lss0v.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss0v	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Proof of Theorem lss0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3530	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
2		lss0v.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑋) = (LSpan‘𝑋)
5		lss0v.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lsslsp 14408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ ∅ ⊆ 𝑈) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
7	1, 6	mp3an3 1360	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = ((LSpan‘𝑊)‘∅))
8	2, 5	lsslmod 14359	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
9		lss0v.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑋)
10	9, 4	lsp0 14402	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑋)‘∅) = {𝑍})
12		lss0v.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13	12, 3	lsp0 14402	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
15	7, 11, 14	3eqtr3d 2270	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → {𝑍} = { 0 })
16	15	unieqd 3899	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = ∪ { 0 })
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
18	17, 9	lmod0vcl 14296	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝑋))
19		unisng 3905	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑋) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
20	8, 18, 19	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ {𝑍} = 𝑍)
21		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
22	21, 12	lmod0vcl 14296	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
23		unisng 3905	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑊) → ∪ { 0 } = 0 )
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∪ { 0 } = 0 )
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∪ { 0 } = 0 )
26	16, 20, 25	3eqtr3d 2270	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑍 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047   ↾_s cress 13048  0_gc0g 13304  LModclmod 14266  LSubSpclss 14331  LSpanclspn 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-subg 13722  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366

This theorem is referenced by: (None)