Theorem ltnqex 7547

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7361	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7363	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4678	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
4	3	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3230	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4141	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2737   class class class wbr 4003  Qcnq 7278   <_Q cltq 7283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-qs 6540  df-ni 7302  df-nqqs 7346  df-ltnqqs 7351

This theorem is referenced by:  nqprl  7549  nqpru  7550  1prl  7553  1pru  7554  addnqprlemrl  7555  addnqprlemru  7556  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  mulnqprlemrl  7571  mulnqprlemru  7572  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  ltnqpr  7591  ltnqpri  7592  archpr  7641  cauappcvgprlemladdfu  7652  cauappcvgprlemladdfl  7653  cauappcvgprlem2  7658  caucvgprlemladdfu  7675  caucvgprlem2  7678  caucvgprprlemopu  7697  suplocexprlemloc  7719