Theorem ltnqex 7463

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7277	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7279	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4637	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
4	3	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3203	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4102	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2128  {cab 2143  Vcvv 2712   class class class wbr 3965  Qcnq 7194   <_Q cltq 7199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-qs 6483  df-ni 7218  df-nqqs 7262  df-ltnqqs 7267

This theorem is referenced by:  nqprl  7465  nqpru  7466  1prl  7469  1pru  7470  addnqprlemrl  7471  addnqprlemru  7472  addnqprlemfl  7473  addnqprlemfu  7474  mulnqprlemrl  7487  mulnqprlemru  7488  mulnqprlemfl  7489  mulnqprlemfu  7490  ltnqpr  7507  ltnqpri  7508  archpr  7557  cauappcvgprlemladdfu  7568  cauappcvgprlemladdfl  7569  cauappcvgprlem2  7574  caucvgprlemladdfu  7591  caucvgprlem2  7594  caucvgprprlemopu  7613  suplocexprlemloc  7635