Theorem ltnqex 7511

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7325	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7327	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4663	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
4	3	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3222	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4127	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  {cab 2156  Vcvv 2730   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  nqprl  7513  nqpru  7514  1prl  7517  1pru  7518  addnqprlemrl  7519  addnqprlemru  7520  addnqprlemfl  7521  addnqprlemfu  7522  mulnqprlemrl  7535  mulnqprlemru  7536  mulnqprlemfl  7537  mulnqprlemfu  7538  ltnqpr  7555  ltnqpri  7556  archpr  7605  cauappcvgprlemladdfu  7616  cauappcvgprlemladdfl  7617  cauappcvgprlem2  7622  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprlem2  7642  caucvgprprlemopu  7661  suplocexprlemloc  7683