Theorem ltnqex 7550

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7364	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7366	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4680	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
4	3	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3232	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4143	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  Qcnq 7281   <_Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6543  df-ni 7305  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  nqprl  7552  nqpru  7553  1prl  7556  1pru  7557  addnqprlemrl  7558  addnqprlemru  7559  addnqprlemfl  7560  addnqprlemfu  7561  mulnqprlemrl  7574  mulnqprlemru  7575  mulnqprlemfl  7576  mulnqprlemfu  7577  ltnqpr  7594  ltnqpri  7595  archpr  7644  cauappcvgprlemladdfu  7655  cauappcvgprlemladdfl  7656  cauappcvgprlem2  7661  caucvgprlemladdfu  7678  caucvgprlem2  7681  caucvgprprlemopu  7700  suplocexprlemloc  7722