Theorem m1modnnsub1 10372

Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnnsub1	|- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )

Proof of Theorem m1modnnsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . . 4 |- 1 e. ZZ
2		zq 9628	. . . 4 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 |- ( M e. NN -> 1 e. QQ )
4		nnq 9635	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
5		nngt0 8946	. . 3 |- ( M e. NN -> 0 < M )
6		qnegmod 10371	. . 3 |- ( ( 1 e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( -u 1 mod M ) = ( ( M - 1 ) mod M ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( ( M - 1 ) mod M ) )
8		qsubcl 9640	. . . 4 |- ( ( M e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( M - 1 ) e. QQ )
9	4, 3, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. QQ )
10		nnm1ge0 9341	. . 3 |- ( M e. NN -> 0 <_ ( M - 1 ) )
11		nnre 8928	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. RR )
12	11	ltm1d 8891	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) < M )
13		modqid 10351	. . 3 |- ( ( ( ( M - 1 ) e. QQ /\ M e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( M - 1 ) /\ ( M - 1 ) < M ) ) -> ( ( M - 1 ) mod M ) = ( M - 1 ) )
14	9, 4, 10, 12, 13	syl22anc 1239	. 2 |- ( M e. NN -> ( ( M - 1 ) mod M ) = ( M - 1 ) )
15	7, 14	eqtrd 2210	1 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   -ucneg 8131   NNcn 8921   ZZcz 9255   QQcq 9621   mod cmo 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325

This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  10373