ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1modnnsub1 Unicode version

Theorem m1modnnsub1 10157
Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modnnsub1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )

Proof of Theorem m1modnnsub1
StepHypRef Expression
1 1z 9094 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 zq 9432 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
31, 2mp1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  QQ )
4 nnq 9439 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
5 nngt0 8759 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
6 qnegmod 10156 . . 3  |-  ( ( 1  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( ( M  -  1 )  mod 
M ) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( ( M  -  1 )  mod 
M ) )
8 qsubcl 9444 . . . 4  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( M  -  1 )  e.  QQ )
94, 3, 8syl2anc 408 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  QQ )
10 nnm1ge0 9151 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M  -  1 ) )
11 nnre 8741 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1211ltm1d 8704 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  M )
13 modqid 10136 . . 3  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  e.  QQ  /\  M  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( M  -  1 )  /\  ( M  -  1 )  < 
M ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  mod  M
)  =  ( M  -  1 ) )
149, 4, 10, 12, 13syl22anc 1217 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
157, 14eqtrd 2172 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7634   1c1 7635    < clt 7814    <_ cle 7815    - cmin 7947   -ucneg 7948   NNcn 8734   ZZcz 9068   QQcq 9425    mod cmo 10109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-q 9426  df-rp 9456  df-fl 10057  df-mod 10110
This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  10158
  Copyright terms: Public domain W3C validator