ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1modnnsub1 Unicode version

Theorem m1modnnsub1 9773
Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1modnnsub1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )

Proof of Theorem m1modnnsub1
StepHypRef Expression
1 1z 8774 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 zq 9109 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
31, 2mp1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  QQ )
4 nnq 9116 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
5 nngt0 8445 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
6 qnegmod 9772 . . 3  |-  ( ( 1  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( ( M  -  1 )  mod 
M ) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1174 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( ( M  -  1 )  mod 
M ) )
8 qsubcl 9121 . . . 4  |-  ( ( M  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( M  -  1 )  e.  QQ )
94, 3, 8syl2anc 403 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  QQ )
10 nnm1ge0 8830 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M  -  1 ) )
11 nnre 8427 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1211ltm1d 8391 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  M )
13 modqid 9752 . . 3  |-  ( ( ( ( M  - 
1 )  e.  QQ  /\  M  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( M  -  1 )  /\  ( M  -  1 )  < 
M ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  mod  M
)  =  ( M  -  1 ) )
149, 4, 10, 12, 13syl22anc 1175 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
157, 14eqtrd 2120 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  mod  M )  =  ( M  - 
1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   0cc0 7348   1c1 7349    < clt 7520    <_ cle 7521    - cmin 7651   -ucneg 7652   NNcn 8420   ZZcz 8748   QQcq 9102    mod cmo 9725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-q 9103  df-rp 9133  df-fl 9673  df-mod 9726
This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  9774
  Copyright terms: Public domain W3C validator