Theorem m1modnnsub1 10695

Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnnsub1	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem m1modnnsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9566	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9921	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
4		nnq 9928	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
5		nngt0 9227	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
6		qnegmod 10694	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
8		qsubcl 9933	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
9	4, 3, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
10		nnm1ge0 9627	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀 − 1))
11		nnre 9209	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltm1d 9171	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13		modqid 10674	. . 3 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
14	9, 4, 10, 12, 13	syl22anc 1275	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
15	7, 14	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8092  1c1 8093   < clt 8273   ≤ cle 8274   − cmin 8409  -cneg 8410  ℕcn 9202  ℤcz 9540  ℚcq 9914   mod cmo 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648

This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  10696