Theorem m1modnnsub1 10305

Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnnsub1	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem m1modnnsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9217	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9564	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
4		nnq 9571	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
5		nngt0 8882	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
6		qnegmod 10304	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
8		qsubcl 9576	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
9	4, 3, 8	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
10		nnm1ge0 9277	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀 − 1))
11		nnre 8864	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltm1d 8827	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13		modqid 10284	. . 3 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
14	9, 4, 10, 12, 13	syl22anc 1229	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
15	7, 14	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  -cneg 8070  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557   mod cmo 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258

This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  10306