Theorem m1modnnsub1 10736

Description: Minus one modulo a positive integer is equal to the integer minus one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modnnsub1	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Proof of Theorem m1modnnsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9605	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zq 9961	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
4		nnq 9968	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
5		nngt0 9264	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
6		qnegmod 10735	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = ((𝑀 − 1) mod 𝑀))
8		qsubcl 9973	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
9	4, 3, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℚ)
10		nnm1ge0 9667	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀 − 1))
11		nnre 9246	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltm1d 9208	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13		modqid 10715	. . 3 ⊢ ((((𝑀 − 1) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) < 𝑀)) → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
14	9, 4, 10, 12, 13	syl22anc 1275	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) mod 𝑀) = (𝑀 − 1))
15	7, 14	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑀) = (𝑀 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8129  1c1 8130   < clt 8310   ≤ cle 8311   − cmin 8446  -cneg 8447  ℕcn 9239  ℤcz 9579  ℚcq 9954   mod cmo 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-q 9955  df-rp 9990  df-fl 10634  df-mod 10689

This theorem is referenced by:  m1modge3gt1  10737