Theorem nnq 10033

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 10029	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9304   QQcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  flqdiv  10758  modqmulnn  10779  zmodcl  10781  zmodfz  10783  zmodid2  10789  m1modnnsub1  10807  addmodid  10809  modifeq2int  10823  modaddmodup  10824  modaddmodlo  10825  modsumfzodifsn  10833  addmodlteq  10835  modfsummodlemstep  12224  fprodmodd  12408  dvdsval3  12558  dvdsmodexp  12562  moddvds  12566  dvdslelemd  12610  dvdsmod  12629  mulmoddvds  12630  divalglemnn  12685  divalgmod  12694  bitsmod  12723  modgcd  12768  crth  13002  phimullem  13003  eulerthlema  13008  fermltl  13012  prmdiv  13013  prmdiveq  13014  odzdvds  13024  modprm0  13033  nnnn0modprm0  13034  modprmn0modprm0  13035  pcaddlem  13118  fldivp1  13127  pockthlem  13135  pockthi  13137  4sqlem5  13161  4sqlem6  13162  4sqlem10  13166  modxai  13195  modsubi  13198  mulgmodid  13964  znf1o  14986  pellexlem1  16091  lgsvalmod  16138  lgsdir2lem1  16147  lgsdir2lem4  16150  lgsdir2lem5  16151  lgsdirprm  16153  lgsne0  16157  gausslemma2dlem0i  16176  gausslemma2dlem6  16186  gausslemma2dlem7  16187  gausslemma2d  16188  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem3  16198  2lgslem1a1  16205  2lgslem3a1  16216  2lgslem3b1  16217  2lgslem3c1  16218  2lgslem3d1  16219  2lgslem4  16222  2lgsoddprmlem2  16225