Theorem nnq 9867

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9863	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3223	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NNcn 9143   QQcq 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-z 9480  df-q 9854

This theorem is referenced by:  flqdiv  10583  modqmulnn  10604  zmodcl  10606  zmodfz  10608  zmodid2  10614  m1modnnsub1  10632  addmodid  10634  modifeq2int  10648  modaddmodup  10649  modaddmodlo  10650  modsumfzodifsn  10658  addmodlteq  10660  modfsummodlemstep  12019  fprodmodd  12203  dvdsval3  12353  dvdsmodexp  12357  moddvds  12361  dvdslelemd  12405  dvdsmod  12424  mulmoddvds  12425  divalglemnn  12480  divalgmod  12489  bitsmod  12518  modgcd  12563  crth  12797  phimullem  12798  eulerthlema  12803  fermltl  12807  prmdiv  12808  prmdiveq  12809  odzdvds  12819  modprm0  12828  nnnn0modprm0  12829  modprmn0modprm0  12830  pcaddlem  12913  fldivp1  12922  pockthlem  12930  pockthi  12932  4sqlem5  12956  4sqlem6  12957  4sqlem10  12961  modxai  12990  modsubi  12993  mulgmodid  13749  znf1o  14667  lgsvalmod  15750  lgsdir2lem1  15759  lgsdir2lem4  15762  lgsdir2lem5  15763  lgsdirprm  15765  lgsne0  15769  gausslemma2dlem0i  15788  gausslemma2dlem6  15798  gausslemma2dlem7  15799  gausslemma2d  15800  lgseisenlem1  15801  lgseisenlem2  15802  lgseisenlem4  15804  lgseisen  15805  lgsquadlem3  15810  2lgslem1a1  15817  2lgslem3a1  15828  2lgslem3b1  15829  2lgslem3c1  15830  2lgslem3d1  15831  2lgslem4  15834  2lgsoddprmlem2  15837