Theorem nnq 9756

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9752	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3189	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   NNcn 9038   QQcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-z 9375  df-q 9743

This theorem is referenced by:  flqdiv  10468  modqmulnn  10489  zmodcl  10491  zmodfz  10493  zmodid2  10499  m1modnnsub1  10517  addmodid  10519  modifeq2int  10533  modaddmodup  10534  modaddmodlo  10535  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  modfsummodlemstep  11801  fprodmodd  11985  dvdsval3  12135  dvdsmodexp  12139  moddvds  12143  dvdslelemd  12187  dvdsmod  12206  mulmoddvds  12207  divalglemnn  12262  divalgmod  12271  bitsmod  12300  modgcd  12345  crth  12579  phimullem  12580  eulerthlema  12585  fermltl  12589  prmdiv  12590  prmdiveq  12591  odzdvds  12601  modprm0  12610  nnnn0modprm0  12611  modprmn0modprm0  12612  pcaddlem  12695  fldivp1  12704  pockthlem  12712  pockthi  12714  4sqlem5  12738  4sqlem6  12739  4sqlem10  12743  modxai  12772  modsubi  12775  mulgmodid  13530  znf1o  14446  lgsvalmod  15529  lgsdir2lem1  15538  lgsdir2lem4  15541  lgsdir2lem5  15542  lgsdirprm  15544  lgsne0  15548  gausslemma2dlem0i  15567  gausslemma2dlem6  15577  gausslemma2dlem7  15578  gausslemma2d  15579  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem4  15583  lgseisen  15584  lgsquadlem3  15589  2lgslem1a1  15596  2lgslem3a1  15607  2lgslem3b1  15608  2lgslem3c1  15609  2lgslem3d1  15610  2lgslem4  15613  2lgsoddprmlem2  15616