Theorem nnq 10043

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 10039	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9307   QQcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  flqdiv  10773  modqmulnn  10794  zmodcl  10796  zmodfz  10798  zmodid2  10804  m1modnnsub1  10822  addmodid  10824  modifeq2int  10838  modaddmodup  10839  modaddmodlo  10840  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  modfsummodlemstep  12243  fprodmodd  12427  dvdsval3  12577  dvdsmodexp  12581  moddvds  12585  dvdslelemd  12629  dvdsmod  12648  mulmoddvds  12649  divalglemnn  12704  divalgmod  12713  bitsmod  12742  modgcd  12787  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlema  13031  fermltl  13035  prmdiv  13036  prmdiveq  13037  odzdvds  13047  modprm0  13056  nnnn0modprm0  13057  modprmn0modprm0  13058  pcaddlem  13141  fldivp1  13150  pockthlem  13158  pockthi  13160  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem10  13189  modxai  13218  modsubi  13222  mulgmodid  14017  znf1o  15070  pellexlem1  16190  ppiqltx  16242  prmorcht  16243  ppiqub  16254  chtublem  16256  bposlem5  16276  bposlem6  16277  lgsvalmod  16304  lgsdir2lem1  16313  lgsdir2lem4  16316  lgsdir2lem5  16317  lgsdirprm  16319  lgsne0  16323  gausslemma2dlem0i  16342  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2dlem7  16353  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlem3  16364  2lgslem1a1  16371  2lgslem3a1  16382  2lgslem3b1  16383  2lgslem3c1  16384  2lgslem3d1  16385  2lgslem4  16388  2lgsoddprmlem2  16391