Theorem nnq 10015

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 10011	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9286   QQcq 10001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-z 9627  df-q 10002

This theorem is referenced by:  flqdiv  10739  modqmulnn  10760  zmodcl  10762  zmodfz  10764  zmodid2  10770  m1modnnsub1  10788  addmodid  10790  modifeq2int  10804  modaddmodup  10805  modaddmodlo  10806  modsumfzodifsn  10814  addmodlteq  10816  modfsummodlemstep  12205  fprodmodd  12389  dvdsval3  12539  dvdsmodexp  12543  moddvds  12547  dvdslelemd  12591  dvdsmod  12610  mulmoddvds  12611  divalglemnn  12666  divalgmod  12675  bitsmod  12704  modgcd  12749  crth  12983  phimullem  12984  eulerthlema  12989  fermltl  12993  prmdiv  12994  prmdiveq  12995  odzdvds  13005  modprm0  13014  nnnn0modprm0  13015  modprmn0modprm0  13016  pcaddlem  13099  fldivp1  13108  pockthlem  13116  pockthi  13118  4sqlem5  13142  4sqlem6  13143  4sqlem10  13147  modxai  13176  modsubi  13179  mulgmodid  13944  znf1o  14961  pellexlem1  16008  lgsvalmod  16055  lgsdir2lem1  16064  lgsdir2lem4  16067  lgsdir2lem5  16068  lgsdirprm  16070  lgsne0  16074  gausslemma2dlem0i  16093  gausslemma2dlem6  16103  gausslemma2dlem7  16104  gausslemma2d  16105  lgseisenlem1  16106  lgseisenlem2  16107  lgseisenlem4  16109  lgseisen  16110  lgsquadlem3  16115  2lgslem1a1  16122  2lgslem3a1  16133  2lgslem3b1  16134  2lgslem3c1  16135  2lgslem3d1  16136  2lgslem4  16139  2lgsoddprmlem2  16142