Theorem nnq 9872

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9868	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3222	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2201   NNcn 9148   QQcq 9858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-z 9485  df-q 9859

This theorem is referenced by:  flqdiv  10589  modqmulnn  10610  zmodcl  10612  zmodfz  10614  zmodid2  10620  m1modnnsub1  10638  addmodid  10640  modifeq2int  10654  modaddmodup  10655  modaddmodlo  10656  modsumfzodifsn  10664  addmodlteq  10666  modfsummodlemstep  12041  fprodmodd  12225  dvdsval3  12375  dvdsmodexp  12379  moddvds  12383  dvdslelemd  12427  dvdsmod  12446  mulmoddvds  12447  divalglemnn  12502  divalgmod  12511  bitsmod  12540  modgcd  12585  crth  12819  phimullem  12820  eulerthlema  12825  fermltl  12829  prmdiv  12830  prmdiveq  12831  odzdvds  12841  modprm0  12850  nnnn0modprm0  12851  modprmn0modprm0  12852  pcaddlem  12935  fldivp1  12944  pockthlem  12952  pockthi  12954  4sqlem5  12978  4sqlem6  12979  4sqlem10  12983  modxai  13012  modsubi  13015  mulgmodid  13771  znf1o  14689  lgsvalmod  15777  lgsdir2lem1  15786  lgsdir2lem4  15789  lgsdir2lem5  15790  lgsdirprm  15792  lgsne0  15796  gausslemma2dlem0i  15815  gausslemma2dlem6  15825  gausslemma2dlem7  15826  gausslemma2d  15827  lgseisenlem1  15828  lgseisenlem2  15829  lgseisenlem4  15831  lgseisen  15832  lgsquadlem3  15837  2lgslem1a1  15844  2lgslem3a1  15855  2lgslem3b1  15856  2lgslem3c1  15857  2lgslem3d1  15858  2lgslem4  15861  2lgsoddprmlem2  15864