Theorem nnq 9870

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9866	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3223	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   NNcn 9146   QQcq 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-z 9483  df-q 9857

This theorem is referenced by:  flqdiv  10587  modqmulnn  10608  zmodcl  10610  zmodfz  10612  zmodid2  10618  m1modnnsub1  10636  addmodid  10638  modifeq2int  10652  modaddmodup  10653  modaddmodlo  10654  modsumfzodifsn  10662  addmodlteq  10664  modfsummodlemstep  12039  fprodmodd  12223  dvdsval3  12373  dvdsmodexp  12377  moddvds  12381  dvdslelemd  12425  dvdsmod  12444  mulmoddvds  12445  divalglemnn  12500  divalgmod  12509  bitsmod  12538  modgcd  12583  crth  12817  phimullem  12818  eulerthlema  12823  fermltl  12827  prmdiv  12828  prmdiveq  12829  odzdvds  12839  modprm0  12848  nnnn0modprm0  12849  modprmn0modprm0  12850  pcaddlem  12933  fldivp1  12942  pockthlem  12950  pockthi  12952  4sqlem5  12976  4sqlem6  12977  4sqlem10  12981  modxai  13010  modsubi  13013  mulgmodid  13769  znf1o  14687  lgsvalmod  15775  lgsdir2lem1  15784  lgsdir2lem4  15787  lgsdir2lem5  15788  lgsdirprm  15790  lgsne0  15794  gausslemma2dlem0i  15813  gausslemma2dlem6  15823  gausslemma2dlem7  15824  gausslemma2d  15825  lgseisenlem1  15826  lgseisenlem2  15827  lgseisenlem4  15829  lgseisen  15830  lgsquadlem3  15835  2lgslem1a1  15842  2lgslem3a1  15853  2lgslem3b1  15854  2lgslem3c1  15855  2lgslem3d1  15856  2lgslem4  15859  2lgsoddprmlem2  15862