Theorem nnq 9789

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9785	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3197	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   NNcn 9071   QQcq 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-z 9408  df-q 9776

This theorem is referenced by:  flqdiv  10503  modqmulnn  10524  zmodcl  10526  zmodfz  10528  zmodid2  10534  m1modnnsub1  10552  addmodid  10554  modifeq2int  10568  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  modfsummodlemstep  11883  fprodmodd  12067  dvdsval3  12217  dvdsmodexp  12221  moddvds  12225  dvdslelemd  12269  dvdsmod  12288  mulmoddvds  12289  divalglemnn  12344  divalgmod  12353  bitsmod  12382  modgcd  12427  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlema  12667  fermltl  12671  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  odzdvds  12683  modprm0  12692  nnnn0modprm0  12693  modprmn0modprm0  12694  pcaddlem  12777  fldivp1  12786  pockthlem  12794  pockthi  12796  4sqlem5  12820  4sqlem6  12821  4sqlem10  12825  modxai  12854  modsubi  12857  mulgmodid  13612  znf1o  14528  lgsvalmod  15611  lgsdir2lem1  15620  lgsdir2lem4  15623  lgsdir2lem5  15624  lgsdirprm  15626  lgsne0  15630  gausslemma2dlem0i  15649  gausslemma2dlem6  15659  gausslemma2dlem7  15660  gausslemma2d  15661  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem4  15665  lgseisen  15666  lgsquadlem3  15671  2lgslem1a1  15678  2lgslem3a1  15689  2lgslem3b1  15690  2lgslem3c1  15691  2lgslem3d1  15692  2lgslem4  15695  2lgsoddprmlem2  15698