Theorem nnq 10049

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 10045	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NNcn 9313   QQcq 10035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9656  df-q 10036

This theorem is used by:  flqdiv  10779  modqmulnn  10800  zmodcl  10802  zmodfz  10804  zmodid2  10810  m1modnnsub1  10828  addmodid  10830  modifeq2int  10844  modaddmodup  10845  modaddmodlo  10846  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  modfsummodlemstep  12249  fprodmodd  12433  dvdsval3  12583  dvdsmodexp  12587  moddvds  12591  dvdslelemd  12635  dvdsmod  12654  mulmoddvds  12655  divalglemnn  12710  divalgmod  12719  bitsmod  12748  modgcd  12793  crth  13031  phimullem  13032  eulerthlema  13037  fermltl  13041  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  odzdvds  13053  modprm0  13062  nnnn0modprm0  13063  modprmn0modprm0  13064  pcaddlem  13147  fldivp1  13156  pockthlem  13164  pockthi  13166  4sqlem5  13190  4sqlem6  13191  4sqlem10  13195  modxai  13224  modsubi  13228  mulgmodid  14023  znf1o  15095  pellexlem1  16229  ppiqltx  16281  prmorcht  16282  ppiqub  16293  chtublem  16295  bposlem5  16315  bposlem6  16316  lgsvalmod  16343  lgsdir2lem1  16352  lgsdir2lem4  16355  lgsdir2lem5  16356  lgsdirprm  16358  lgsne0  16362  gausslemma2dlem0i  16381  gausslemma2dlem6  16391  gausslemma2dlem7  16392  gausslemma2d  16393  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem3  16403  2lgslem1a1  16410  2lgslem3a1  16421  2lgslem3b1  16422  2lgslem3c1  16423  2lgslem3d1  16424  2lgslem4  16427  2lgsoddprmlem2  16430