Theorem nnq 9968

Description: A positive integer is rational. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnq	|- ( A e. NN -> A e. QQ )

Proof of Theorem nnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssq 9964	. 2 |- NN C_ QQ
2	1	sseli 3236	1 |- ( A e. NN -> A e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   NNcn 9239   QQcq 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-z 9580  df-q 9955

This theorem is referenced by:  flqdiv  10687  modqmulnn  10708  zmodcl  10710  zmodfz  10712  zmodid2  10718  m1modnnsub1  10736  addmodid  10738  modifeq2int  10752  modaddmodup  10753  modaddmodlo  10754  modsumfzodifsn  10762  addmodlteq  10764  modfsummodlemstep  12147  fprodmodd  12331  dvdsval3  12481  dvdsmodexp  12485  moddvds  12489  dvdslelemd  12533  dvdsmod  12552  mulmoddvds  12553  divalglemnn  12608  divalgmod  12617  bitsmod  12646  modgcd  12691  crth  12925  phimullem  12926  eulerthlema  12931  fermltl  12935  prmdiv  12936  prmdiveq  12937  odzdvds  12947  modprm0  12956  nnnn0modprm0  12957  modprmn0modprm0  12958  pcaddlem  13041  fldivp1  13050  pockthlem  13058  pockthi  13060  4sqlem5  13084  4sqlem6  13085  4sqlem10  13089  modxai  13118  modsubi  13121  mulgmodid  13895  znf1o  14816  pellexlem1  15862  lgsvalmod  15909  lgsdir2lem1  15918  lgsdir2lem4  15921  lgsdir2lem5  15922  lgsdirprm  15924  lgsne0  15928  gausslemma2dlem0i  15947  gausslemma2dlem6  15957  gausslemma2dlem7  15958  gausslemma2d  15959  lgseisenlem1  15960  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem4  15963  lgseisen  15964  lgsquadlem3  15969  2lgslem1a1  15976  2lgslem3a1  15987  2lgslem3b1  15988  2lgslem3c1  15989  2lgslem3d1  15990  2lgslem4  15993  2lgsoddprmlem2  15996