Theorem mndcl 13451

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndcl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13450	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mgmcl 13387	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1304	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  Mgmcmgm 13382  Mndcmnd 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445

This theorem is referenced by:  mnd4g  13457  mndpropd  13468  issubmnd  13470  prdsplusgcl  13474  imasmnd  13481  idmhm  13497  mhmf1o  13498  issubmd  13502  submid  13505  0mhm  13514  mhmco  13518  mhmeql  13520  gsumwmhm  13526  gsumfzcl  13527  grpcl  13536  mhmmnd  13648  mulgnn0cl  13670  mulgnn0z  13681  gsumfzreidx  13869  gsumfzmptfidmadd  13871  gsumfzmhm  13875  srgcl  13928  srgacl  13940  ringcl  13971  ringpropd  13996