Theorem gsumfzcl 13071

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumfzcl.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsumfzcl.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzcl.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzcl.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzcl	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )

Proof of Theorem gsumfzcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		gsumcl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		gsumfzcl.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Mnd )
5		gsumfzcl.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		gsumfzcl.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
7		gsumfzcl.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gsumfzval 12974	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( G gsumg F ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) ) )
10		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
11	10	iftrued 3564	. . . 4 |- ( ( ph /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) ) = .0. )
12	9, 11	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( G gsumg F ) = .0. )
13	1, 2	mndidcl 13011	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
14	4, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. B )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ N < M ) -> .0. e. B )
16	12, 15	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( G gsumg F ) e. B )
17	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> ( G gsumg F ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) ) )
18		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> -. N < M )
19	18	iffalsed 3567	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
20	17, 19	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) )
21	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
22	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
23	21	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M e. RR )
24	22	zred 9439	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. RR )
25	23, 24, 18	nltled 8140	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> M <_ N )
26		eluz2 9598	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
27	21, 22, 25, 26	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
28	5, 6	fzfigd 10502	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
29	7, 28	fexd 5788	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. _V )
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> F e. _V )
31		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
32		fvexg 5573	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ x e. _V ) -> ( F ` x ) e. _V )
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. _V )
34	7	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> F : ( M ... N ) --> B )
35		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
36	34, 35	ffvelcdmd 5694	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. B )
37	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> G e. Mnd )
38		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
39		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
40	1, 3	mndcl 13004	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
42		ssv 3201	. . . . 5 |- B C_ _V
43	42	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> B C_ _V )
44		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> x e. _V )
45		plusgslid 12730	. . . . . . . 8 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
46	45	slotex 12645	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
47	4, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( +g ` G ) e. _V )
48	47	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
49		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> y e. _V )
50		ovexg 5952	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
51	44, 48, 49, 50	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. N < M ) /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. _V )
52	27, 33, 36, 41, 43, 51	seq3clss 10542	. . 3 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , F ) ` N ) e. B )
53	20, 52	eqeltrd 2270	. 2 |- ( ( ph /\ -. N < M ) -> ( G gsumg F ) e. B )
54		zdclt 9394	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
55	6, 5, 54	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> DECID N < M )
56		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
57	55, 56	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( N < M \/ -. N < M ) )
58	16, 53, 57	mpjaodan 799	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   seqcseq 10518   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   gsum_g cgsu 12868   Mndcmnd 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998

This theorem is referenced by:  gsumfzmhm2  13414  gsumfzfsumlemm  14075  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189