Theorem modm1div 12030

Description: An integer greater than one divides another integer minus one iff the second integer modulo the first integer is one. (Contributed by AV, 30-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
modm1div	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = 1 <-> N || ( A - 1 ) ) )

Proof of Theorem modm1div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9639	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
2		zq 9729	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. QQ )
4		eluz2gt1 9705	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> 1 < N )
6		q1mod 10482	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> ( 1 mod N ) = 1 )
7	6	eqcomd 2210	. . . 4 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> 1 = ( 1 mod N ) )
8	3, 5, 7	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> 1 = ( 1 mod N ) )
9	8	eqeq2d 2216	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = 1 <-> ( A mod N ) = ( 1 mod N ) ) )
10		eluz2nn 9669	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
11	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> N e. NN )
12		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
13		1zzd 9381	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
14		moddvds 12029	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( A - 1 ) ) )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( 1 mod N ) <-> N || ( A - 1 ) ) )
16	9, 15	bitrd 188	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = 1 <-> N || ( A - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   1c1 7908   < clt 8089   - cmin 8225   NNcn 9018   2c2 9069   ZZcz 9354   ZZ>=cuz 9630   QQcq 9722   mod cmo 10448   || cdvds 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-fl 10394  df-mod 10449  df-dvds 12018

This theorem is referenced by:  modprm1div  12489