Theorem moddvds 11735

Description: Two ways to say A == B (mod N), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	|- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnq 9567	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> N e. QQ )
3		nngt0 8878	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> 0 < N )
5		q0mod 10286	. . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( 0 mod N ) = 0 )
6	2, 4, 5	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( 0 mod N ) = 0 )
7	6	eqeq2d 2177	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
8		zq 9560	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
9	8	ad2antrl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. QQ )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> A e. QQ )
11		zq 9560	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
12	11	ad2antll 483	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. QQ )
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> B e. QQ )
14		qnegcl 9570	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> -u B e. QQ )
16	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> N e. QQ )
17	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> 0 < N )
18		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( A mod N ) = ( B mod N ) )
19	10, 13, 15, 16, 17, 18	modqadd1 10292	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) )
20	19	ex 114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) ) )
21		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
22	21	zcnd 9310	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. CC )
23		simprr 522	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
24	23	zcnd 9310	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. CC )
25	22, 24	negsubd 8211	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
26	25	oveq1d 5856	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N ) )
27	24	negidd 8195	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( B + -u B ) = 0 )
28	27	oveq1d 5856	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( B + -u B ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
29	26, 28	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
30	20, 29	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
31	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> A e. QQ )
32	12	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> B e. QQ )
33		qsubcl 9572	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
34	31, 32, 33	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
35		0z 9198	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
36		zq 9560	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
37	35, 36	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> 0 e. QQ )
38	2	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> N e. QQ )
39	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> 0 < N )
40		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
41	34, 37, 32, 38, 39, 40	modqadd1 10292	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) )
42	41	ex 114	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) ) )
43	22, 24	npcand 8209	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
44	43	oveq1d 5856	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( A mod N ) )
45	24	addid2d 8044	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( 0 + B ) = B )
46	45	oveq1d 5856	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( 0 + B ) mod N ) = ( B mod N ) )
47	44, 46	eqeq12d 2180	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) <-> ( A mod N ) = ( B mod N ) ) )
48	42, 47	sylibd 148	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) -> ( A mod N ) = ( B mod N ) ) )
49	30, 48	impbid 128	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
50		zsubcl 9228	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
51		dvdsval3 11727	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( N || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
52	50, 51	sylan2 284	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( N || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
53	7, 49, 52	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )
54	53	3impb 1189	1 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841   0cc0 7749   + caddc 7752   < clt 7929   - cmin 8065   -ucneg 8066   NNcn 8853   ZZcz 9187   QQcq 9553   mod cmo 10253   || cdvds 11723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201  df-mod 10254  df-dvds 11724

This theorem is referenced by:  modm1div  11736  summodnegmod  11758  modmulconst  11759  addmodlteqALT  11793  dvdsmod  11796  congr  12028  cncongr1  12031  cncongr2  12032  crth  12152  eulerthlemh  12159  eulerthlemth  12160  prmdiv  12163  prmdiveq  12164  odzcllem  12170  odzdvds  12173  odzphi  12174  pockthlem  12282  lgslem1  13501  lgsmod  13527  lgsdirprm  13535