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Theorem moddvds 11981
Description: Two ways to say A == B (mod N), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )
Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnq 9724 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
21adantr 276 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> N e. QQ )
3 nngt0 9032 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 < N )
43adantr 276 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> 0 < N )
5 q0mod 10464 . . . . 5 |- ( ( N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( 0 mod N ) = 0 )
62, 4, 5syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( 0 mod N ) = 0 )
76eqeq2d 2208 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
8 zq 9717 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
98ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. QQ )
109adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> A e. QQ )
11 zq 9717 . . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> B e. QQ )
1211ad2antll 491 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. QQ )
1312adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> B e. QQ )
14 qnegcl 9727 . . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> -u B e. QQ )
162adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> N e. QQ )
174adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> 0 < N )
18 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( A mod N ) = ( B mod N ) )
1910, 13, 15, 16, 17, 18modqadd1 10470 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( A mod N ) = ( B mod N ) ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) )
2019ex 115 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) ) )
21 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
2221zcnd 9466 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> A e. CC )
23 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
2423zcnd 9466 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> B e. CC )
2522, 24negsubd 8360 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
2625oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N ) )
2724negidd 8344 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( B + -u B ) = 0 )
2827oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( B + -u B ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
2926, 28eqeq12d 2211 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( B + -u B ) mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
3020, 29sylibd 149 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) -> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
319adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> A e. QQ )
3212adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> B e. QQ )
33 qsubcl 9729 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
35 0z 9354 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
36 zq 9717 . . . . . . . 8 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
3735, 36mp1i 10 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> 0 e. QQ )
382adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> N e. QQ )
394adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> 0 < N )
40 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) )
4134, 37, 32, 38, 39, 40modqadd1 10470 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) /\ ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) )
4241ex 115 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) ) )
4322, 24npcand 8358 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
4443oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( A mod N ) )
4524addlidd 8193 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( 0 + B ) = B )
4645oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( 0 + B ) mod N ) = ( B mod N ) )
4744, 46eqeq12d 2211 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( A - B ) + B ) mod N ) = ( ( 0 + B ) mod N ) <-> ( A mod N ) = ( B mod N ) ) )
4842, 47sylibd 149 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) -> ( A mod N ) = ( B mod N ) ) )
4930, 48impbid 129 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = ( 0 mod N ) ) )
50 zsubcl 9384 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
51 dvdsval3 11973 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A - B ) e. ZZ ) -> ( N || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
5250, 51sylan2 286 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( N || ( A - B ) <-> ( ( A - B ) mod N ) = 0 ) )
537, 49, 523bitr4d 220 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )
54533impb 1201 1 |- ( ( N e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod N ) = ( B mod N ) <-> N || ( A - B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   0cc0 7896   + caddc 7899   < clt 8078   - cmin 8214   -ucneg 8215   NNcn 9007   ZZcz 9343   QQcq 9710   mod cmo 10431   || cdvds 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432  df-dvds 11970
This theorem is referenced by:  modm1div  11982  summodnegmod  12004  modmulconst  12005  addmodlteqALT  12041  dvdsmod  12044  congr  12293  cncongr1  12296  cncongr2  12297  crth  12417  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  prmdiv  12428  prmdiveq  12429  odzcllem  12436  odzdvds  12439  odzphi  12440  pockthlem  12550  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  znf1o  14283  wilthlem1  15300  lgslem1  15325  lgsmod  15351  lgsdirprm  15359  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  m1lgs  15410
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