ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  moddvds Unicode version

Theorem moddvds 11398
Description: Two ways to say  A  ==  B (mod  N), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  B )
) )

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnq 9374 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
21adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  QQ )
3 nngt0 8702 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
43adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  0  <  N )
5 q0mod 10068 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( 0  mod  N
)  =  0 )
62, 4, 5syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  mod  N )  =  0 )
76eqeq2d 2127 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  <->  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  0 ) )
8 zq 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
98ad2antrl 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  QQ )
109adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  A  e.  QQ )
11 zq 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
1211ad2antll 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  QQ )
1312adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  B  e.  QQ )
14 qnegcl 9377 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  QQ  ->  -u B  e.  QQ )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  -u B  e.  QQ )
162adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  N  e.  QQ )
174adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  0  <  N )
18 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )
1910, 13, 15, 16, 17, 18modqadd1 10074 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( B  +  -u B
)  mod  N )
)
2019ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( ( A  +  -u B )  mod  N )  =  ( ( B  +  -u B )  mod  N
) ) )
21 simprl 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
2221zcnd 9125 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
23 simprr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
2423zcnd 9125 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
2522, 24negsubd 8043 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
) )
2625oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  -u B )  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod  N
) )
2724negidd 8027 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
2827oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( B  +  -u B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )
2926, 28eqeq12d 2130 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( B  +  -u B
)  mod  N )  <->  ( ( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N ) ) )
3020, 29sylibd 148 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N ) ) )
319adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  A  e.  QQ )
3212adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  B  e.  QQ )
33 qsubcl 9379 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
3431, 32, 33syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  ( A  -  B )  e.  QQ )
35 0z 9016 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
36 zq 9367 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
3735, 36mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  0  e.  QQ )
382adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  N  e.  QQ )
394adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  0  <  N )
40 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N ) )
4134, 37, 32, 38, 39, 40modqadd1 10074 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N ) )
4241ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N ) ) )
4322, 24npcand 8041 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  -  B )  +  B )  =  A )
4443oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  +  B )  mod  N )  =  ( A  mod  N
) )
4524addid2d 7876 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  +  B )  =  B )
4645oveq1d 5755 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  +  B )  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )
4744, 46eqeq12d 2130 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N )  <->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N ) ) )
4842, 47sylibd 148 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  ->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) ) )
4930, 48impbid 128 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  ( 0  mod  N ) ) )
50 zsubcl 9046 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
51 dvdsval3 11393 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  -  B
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  0 ) )
5250, 51sylan2 282 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( N  ||  ( A  -  B
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  0 ) )
537, 49, 523bitr4d 219 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  <->  N  ||  ( A  -  B ) ) )
54533impb 1160 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   0cc0 7584    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897   -ucneg 7898   NNcn 8677   ZZcz 9005   QQcq 9360    mod cmo 10035    || cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-q 9361  df-rp 9391  df-fl 9983  df-mod 10036  df-dvds 11390
This theorem is referenced by:  summodnegmod  11420  modmulconst  11421  addmodlteqALT  11453  dvdsmod  11456  congr  11677  cncongr1  11680  cncongr2  11681  crth  11795
  Copyright terms: Public domain W3C validator