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Theorem moddvds 11429
Description: Two ways to say  A  ==  B (mod  N), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  B )
) )

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnq 9393 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
21adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  QQ )
3 nngt0 8713 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
43adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  0  <  N )
5 q0mod 10096 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  0  <  N )  -> 
( 0  mod  N
)  =  0 )
62, 4, 5syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  mod  N )  =  0 )
76eqeq2d 2129 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  <->  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  0 ) )
8 zq 9386 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
98ad2antrl 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  QQ )
109adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  A  e.  QQ )
11 zq 9386 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
1211ad2antll 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  QQ )
1312adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  B  e.  QQ )
14 qnegcl 9396 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  QQ  ->  -u B  e.  QQ )
1513, 14syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  -u B  e.  QQ )
162adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  N  e.  QQ )
174adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  0  <  N )
18 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )
1910, 13, 15, 16, 17, 18modqadd1 10102 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )  ->  (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( B  +  -u B
)  mod  N )
)
2019ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( ( A  +  -u B )  mod  N )  =  ( ( B  +  -u B )  mod  N
) ) )
21 simprl 505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
2221zcnd 9142 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
23 simprr 506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
2423zcnd 9142 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
2522, 24negsubd 8047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  +  -u B )  =  ( A  -  B
) )
2625oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  +  -u B )  mod  N )  =  ( ( A  -  B )  mod  N
) )
2724negidd 8031 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
2827oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( B  +  -u B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )
2926, 28eqeq12d 2132 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  +  -u B )  mod  N
)  =  ( ( B  +  -u B
)  mod  N )  <->  ( ( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N ) ) )
3020, 29sylibd 148 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  ->  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N ) ) )
319adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  A  e.  QQ )
3212adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  B  e.  QQ )
33 qsubcl 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
3431, 32, 33syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  ( A  -  B )  e.  QQ )
35 0z 9033 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
36 zq 9386 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
3735, 36mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  0  e.  QQ )
382adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  N  e.  QQ )
394adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  0  <  N )
40 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N ) )
4134, 37, 32, 38, 39, 40modqadd1 10102 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  N )  =  ( 0  mod  N
) )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N ) )
4241ex 114 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N ) ) )
4322, 24npcand 8045 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  -  B )  +  B )  =  A )
4443oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  +  B )  mod  N )  =  ( A  mod  N
) )
4524addid2d 7880 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  +  B )  =  B )
4645oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  +  B )  mod  N )  =  ( B  mod  N
) )
4744, 46eqeq12d 2132 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( ( A  -  B )  +  B
)  mod  N )  =  ( ( 0  +  B )  mod 
N )  <->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N ) ) )
4842, 47sylibd 148 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  mod  N )  =  ( 0  mod 
N )  ->  ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
) ) )
4930, 48impbid 128 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  ( 0  mod  N ) ) )
50 zsubcl 9063 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
51 dvdsval3 11424 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  -  B
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  0 ) )
5250, 51sylan2 284 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( N  ||  ( A  -  B
)  <->  ( ( A  -  B )  mod 
N )  =  0 ) )
537, 49, 523bitr4d 219 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A  mod  N )  =  ( B  mod  N
)  <->  N  ||  ( A  -  B ) ) )
54533impb 1162 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  N
)  =  ( B  mod  N )  <->  N  ||  ( A  -  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   0cc0 7588    + caddc 7591    < clt 7768    - cmin 7901   -ucneg 7902   NNcn 8688   ZZcz 9022   QQcq 9379    mod cmo 10063    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011  df-mod 10064  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  summodnegmod  11451  modmulconst  11452  addmodlteqALT  11484  dvdsmod  11487  congr  11708  cncongr1  11711  cncongr2  11712  crth  11827
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