Theorem q1mod 10608

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q1mod	|- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> ( 1 mod N ) = 1 )

Proof of Theorem q1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9495	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		zq 9850	. . 3 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> 1 e. QQ )
4		simpl 109	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> N e. QQ )
5		0le1 8651	. . 3 |- 0 <_ 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> 0 <_ 1 )
7		simpr 110	. 2 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> 1 < N )
8		modqid 10601	. 2 |- ( ( ( 1 e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < N ) ) -> ( 1 mod N ) = 1 )
9	3, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1272	1 |- ( ( N e. QQ /\ 1 < N ) -> ( 1 mod N ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   0cc0 8022   1c1 8023   < clt 8204   <_ cle 8205   ZZcz 9469   QQcq 9843   mod cmo 10574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520  df-mod 10575

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10617  p1modz1  12345  modm1div  12351  vfermltl  12814  pockthlem  12919  pockthi  12921  wilthlem1  15694  lgsne0  15757  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem7  15787  gausslemma2d  15788