ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqabs Unicode version

Theorem modqabs 9652
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
modqabs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
modqabs.bgt0  |-  ( ph  ->  0  <  B )
modqabs.c  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
modqabs.bc  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
modqabs  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqabs
StepHypRef Expression
1 modqabs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 modqabs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
3 modqabs.bgt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  B )
41, 2, 3modqcld 9623 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  QQ )
5 modqabs.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
6 modqge0 9627 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( A  mod  B
) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1170 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
8 qre 9004 . . . 4  |-  ( ( A  mod  B )  e.  QQ  ->  ( A  mod  B )  e.  RR )
94, 8syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  RR )
10 qre 9004 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
112, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
12 qre 9004 . . . 4  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
135, 12syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
14 modqlt 9628 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  < 
B )
151, 2, 3, 14syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  B )
16 modqabs.bc . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
179, 11, 13, 15, 16ltletrd 7803 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  C )
18 modqid 9644 . 2  |-  ( ( ( ( A  mod  B )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  ( A  mod  B )  /\  ( A  mod  B )  <  C ) )  ->  ( ( A  mod  B )  mod 
C )  =  ( A  mod  B ) )
194, 5, 7, 17, 18syl22anc 1171 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5590   RRcr 7251   0cc0 7252    < clt 7424    <_ cle 7425   QQcq 8998    mod cmo 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-q 8999  df-rp 9029  df-fl 9565  df-mod 9618
This theorem is referenced by:  modqabs2  9653
  Copyright terms: Public domain W3C validator