Theorem modqabs 10515

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	|- ( ph -> A e. QQ )
modqabs.b	|- ( ph -> B e. QQ )
modqabs.bgt0	|- ( ph -> 0 < B )
modqabs.c	|- ( ph -> C e. QQ )
modqabs.bc	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
modqabs	|- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqabs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqabs.bgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < B )
4	1, 2, 3	modqcld 10486	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) e. QQ )
5		modqabs.c	. 2 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqge0 10490	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( A mod B ) )
8		qre 9759	. . . 4 |- ( ( A mod B ) e. QQ -> ( A mod B ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) e. RR )
10		qre 9759	. . . 4 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12		qre 9759	. . . 4 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
13	5, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		modqlt 10491	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) < B )
16		modqabs.bc	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8509	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) < C )
18		modqid 10507	. 2 |- ( ( ( ( A mod B ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < C ) ) -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1251	1 |- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954   RRcr 7937   0cc0 7938   < clt 8120   <_ cle 8121   QQcq 9753   mod cmo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-q 9754  df-rp 9789  df-fl 10426  df-mod 10481

This theorem is referenced by:  modqabs2  10516