ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqabs Unicode version

Theorem modqabs 10306
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
modqabs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
modqabs.bgt0  |-  ( ph  ->  0  <  B )
modqabs.c  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
modqabs.bc  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
modqabs  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqabs
StepHypRef Expression
1 modqabs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 modqabs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
3 modqabs.bgt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  B )
41, 2, 3modqcld 10277 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  QQ )
5 modqabs.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
6 modqge0 10281 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( A  mod  B
) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1233 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
8 qre 9577 . . . 4  |-  ( ( A  mod  B )  e.  QQ  ->  ( A  mod  B )  e.  RR )
94, 8syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  RR )
10 qre 9577 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
112, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
12 qre 9577 . . . 4  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
135, 12syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
14 modqlt 10282 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  < 
B )
151, 2, 3, 14syl3anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  B )
16 modqabs.bc . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
179, 11, 13, 15, 16ltletrd 8335 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  C )
18 modqid 10298 . 2  |-  ( ( ( ( A  mod  B )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  ( A  mod  B )  /\  ( A  mod  B )  <  C ) )  ->  ( ( A  mod  B )  mod 
C )  =  ( A  mod  B ) )
194, 5, 7, 17, 18syl22anc 1234 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767    < clt 7947    <_ cle 7948   QQcq 9571    mod cmo 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272
This theorem is referenced by:  modqabs2  10307
  Copyright terms: Public domain W3C validator