Theorem modqabs 10306

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	|- ( ph -> A e. QQ )
modqabs.b	|- ( ph -> B e. QQ )
modqabs.bgt0	|- ( ph -> 0 < B )
modqabs.c	|- ( ph -> C e. QQ )
modqabs.bc	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
modqabs	|- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqabs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqabs.bgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < B )
4	1, 2, 3	modqcld 10277	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) e. QQ )
5		modqabs.c	. 2 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqge0 10281	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1233	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( A mod B ) )
8		qre 9577	. . . 4 |- ( ( A mod B ) e. QQ -> ( A mod B ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) e. RR )
10		qre 9577	. . . 4 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12		qre 9577	. . . 4 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
13	5, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		modqlt 10282	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) < B )
16		modqabs.bc	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8335	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) < C )
18		modqid 10298	. 2 |- ( ( ( ( A mod B ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < C ) ) -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1234	1 |- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   0cc0 7767   < clt 7947   <_ cle 7948   QQcq 9571   mod cmo 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272

This theorem is referenced by:  modqabs2  10307