Theorem modqabs 9652

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	|- ( ph -> A e. QQ )
modqabs.b	|- ( ph -> B e. QQ )
modqabs.bgt0	|- ( ph -> 0 < B )
modqabs.c	|- ( ph -> C e. QQ )
modqabs.bc	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
modqabs	|- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqabs.b	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqabs.bgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < B )
4	1, 2, 3	modqcld 9623	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) e. QQ )
5		modqabs.c	. 2 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqge0 9627	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( A mod B ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1170	. 2 |- ( ph -> 0 <_ ( A mod B ) )
8		qre 9004	. . . 4 |- ( ( A mod B ) e. QQ -> ( A mod B ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) e. RR )
10		qre 9004	. . . 4 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
11	2, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
12		qre 9004	. . . 4 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
13	5, 12	syl 14	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
14		modqlt 9628	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) < B )
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ph -> ( A mod B ) < B )
16		modqabs.bc	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 7803	. 2 |- ( ph -> ( A mod B ) < C )
18		modqid 9644	. 2 |- ( ( ( ( A mod B ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( A mod B ) /\ ( A mod B ) < C ) ) -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1171	1 |- ( ph -> ( ( A mod B ) mod C ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5590   RRcr 7251   0cc0 7252   < clt 7424   <_ cle 7425   QQcq 8998   mod cmo 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-q 8999  df-rp 9029  df-fl 9565  df-mod 9618

This theorem is referenced by:  modqabs2  9653