ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqabs Unicode version

Theorem modqabs 9825
Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
modqabs.b  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
modqabs.bgt0  |-  ( ph  ->  0  <  B )
modqabs.c  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
modqabs.bc  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
modqabs  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqabs
StepHypRef Expression
1 modqabs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 modqabs.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
3 modqabs.bgt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  B )
41, 2, 3modqcld 9796 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  QQ )
5 modqabs.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
6 modqge0 9800 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  0  <_  ( A  mod  B
) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1175 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
8 qre 9171 . . . 4  |-  ( ( A  mod  B )  e.  QQ  ->  ( A  mod  B )  e.  RR )
94, 8syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  RR )
10 qre 9171 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
112, 10syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
12 qre 9171 . . . 4  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
135, 12syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
14 modqlt 9801 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  < 
B )
151, 2, 3, 14syl3anc 1175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  B )
16 modqabs.bc . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
179, 11, 13, 15, 16ltletrd 7962 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  <  C )
18 modqid 9817 . 2  |-  ( ( ( ( A  mod  B )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  ( A  mod  B )  /\  ( A  mod  B )  <  C ) )  ->  ( ( A  mod  B )  mod 
C )  =  ( A  mod  B ) )
194, 5, 7, 17, 18syl22anc 1176 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  mod  B )  mod  C )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7410   0cc0 7411    < clt 7583    <_ cle 7584   QQcq 9165    mod cmo 9790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-q 9166  df-rp 9196  df-fl 9738  df-mod 9791
This theorem is referenced by:  modqabs2  9826
  Copyright terms: Public domain W3C validator