Theorem modqabs 10292

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqabs.bgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
modqabs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqabs.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
modqabs	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqabs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqabs.bgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	1, 2, 3	modqcld 10263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)
5		modqabs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqge0 10267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1228	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
8		qre 9563	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
10		qre 9563	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	2, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		qre 9563	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
13	5, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		modqlt 10268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
16		modqabs.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8321	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)
18		modqid 10284	. 2 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1229	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℚcq 9557   mod cmo 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-mod 10258

This theorem is referenced by:  modqabs2  10293