Theorem modqabs 10546

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqabs.bgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
modqabs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqabs.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
modqabs	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqabs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqabs.bgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	1, 2, 3	modqcld 10517	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)
5		modqabs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqge0 10521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
8		qre 9788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
10		qre 9788	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	2, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		qre 9788	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
13	5, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		modqlt 10522	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
16		modqabs.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8538	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)
18		modqid 10538	. 2 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1253	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by:  modqabs2  10547