Theorem modqabs 10360

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqabs.bgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
modqabs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqabs.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
modqabs	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqabs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqabs.bgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	1, 2, 3	modqcld 10331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)
5		modqabs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqge0 10335	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
8		qre 9628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
10		qre 9628	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	2, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		qre 9628	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
13	5, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		modqlt 10336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
16		modqabs.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)
18		modqid 10352	. 2 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1239	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814   < clt 7995   ≤ cle 7996  ℚcq 9622   mod cmo 10325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623  df-rp 9657  df-fl 10273  df-mod 10326

This theorem is referenced by:  modqabs2  10361