Theorem modqabs 10313

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqabs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqabs.bgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
modqabs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqabs.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
modqabs	⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqabs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqabs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqabs.bgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	1, 2, 3	modqcld 10284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)
5		modqabs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqge0 10288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 mod 𝐵))
8		qre 9584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
10		qre 9584	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	2, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		qre 9584	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℚ → 𝐶 ∈ ℝ)
13	5, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14		modqlt 10289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
16		modqabs.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
17	9, 11, 13, 15, 16	ltletrd 8342	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)
18		modqid 10305	. 2 ⊢ ((((𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐶 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴 mod 𝐵) ∧ (𝐴 mod 𝐵) < 𝐶)) → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))
19	4, 5, 7, 17, 18	syl22anc 1234	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 mod 𝐵) mod 𝐶) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℚcq 9578   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  modqabs2  10314