Theorem modqnegd 10398

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqnegd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqnegd.cgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
modqnegd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		neg1z 9304	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5		modqnegd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqnegd.cgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		modqnegd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9		qcn 9653	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	4	zcnd 9395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12	10, 11	mulcomd 7998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
13	10	mulm1d 8386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	12, 13	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
15	14	oveq1d 5906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
16		qcn 9653	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 11	mulcomd 7998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
19	17	mulm1d 8386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
20	18, 19	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
21	20	oveq1d 5906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2230	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℂcc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   · cmul 7835   < clt 8011  -cneg 8148  ℤcz 9272  ℚcq 9638   mod cmo 10341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-q 9639  df-rp 9673  df-fl 10289  df-mod 10342

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10400