![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqnegd | GIF version |
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
modqnegd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
modqnegd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
modqnegd.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
modqnegd.cgt0 | โข (๐ โ 0 < ๐ถ) |
modqnegd.4 | โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) |
Ref | Expression |
---|---|
modqnegd | โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modqnegd.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | modqnegd.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | neg1z 9304 | . . . 4 โข -1 โ โค | |
4 | 3 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ -1 โ โค) |
5 | modqnegd.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
6 | modqnegd.cgt0 | . . 3 โข (๐ โ 0 < ๐ถ) | |
7 | modqnegd.4 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 4, 5, 6, 7 | modqmul1 10396 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ)) |
9 | qcn 9653 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 1, 9 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
11 | 4 | zcnd 9395 | . . . . 5 โข (๐ โ -1 โ โ) |
12 | 10, 11 | mulcomd 7998 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด)) |
13 | 10 | mulm1d 8386 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด) |
14 | 12, 13 | eqtrd 2222 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = -๐ด) |
15 | 14 | oveq1d 5906 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ด mod ๐ถ)) |
16 | qcn 9653 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
17 | 2, 16 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
18 | 17, 11 | mulcomd 7998 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = (-1 ยท ๐ต)) |
19 | 17 | mulm1d 8386 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต) |
20 | 18, 19 | eqtrd 2222 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = -๐ต) |
21 | 20 | oveq1d 5906 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
22 | 8, 15, 21 | 3eqtr3d 2230 | 1 โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1364 โ wcel 2160 class class class wbr 4018 (class class class)co 5891 โcc 7828 0cc0 7830 1c1 7831 ยท cmul 7835 < clt 8011 -cneg 8148 โคcz 9272 โcq 9638 mod cmo 10341 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948 ax-arch 7949 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 df-inn 8939 df-n0 9196 df-z 9273 df-q 9639 df-rp 9673 df-fl 10289 df-mod 10342 |
This theorem is referenced by: modqsub12d 10400 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |