Theorem modqnegd 10304

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqnegd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
modqnegd.cgt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
modqnegd.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		neg1z 9214	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5		modqnegd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℚ)
6		modqnegd.cgt0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐶)
7		modqnegd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10302	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9		qcn 9563	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
11	4	zcnd 9305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
12	10, 11	mulcomd 7911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
13	10	mulm1d 8299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
14	12, 13	eqtrd 2197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
15	14	oveq1d 5851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
16		qcn 9563	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 11	mulcomd 7911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
19	17	mulm1d 8299	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
20	18, 19	eqtrd 2197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
21	20	oveq1d 5851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2205	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  0cc0 7744  1c1 7745   · cmul 7749   < clt 7924  -cneg 8061  ℤcz 9182  ℚcq 9548   mod cmo 10247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-q 9549  df-rp 9581  df-fl 10195  df-mod 10248

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10306