ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqnegd GIF version

Theorem modqnegd 10398
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqnegd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
modqnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
modqnegd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
modqnegd.cgt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ถ)
modqnegd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
modqnegd (๐œ‘ โ†’ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))

Proof of Theorem modqnegd
StepHypRef Expression
1 modqnegd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 modqnegd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
3 neg1z 9304 . . . 4 -1 โˆˆ โ„ค
43a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
5 modqnegd.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
6 modqnegd.cgt0 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ถ)
7 modqnegd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ))
81, 2, 4, 5, 6, 7modqmul1 10396 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ))
9 qcn 9653 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
101, 9syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
114zcnd 9395 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
1210, 11mulcomd 7998 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด))
1310mulm1d 8386 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
1412, 13eqtrd 2222 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -1) = -๐ด)
1514oveq1d 5906 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ด mod ๐ถ))
16 qcn 9653 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
172, 16syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817, 11mulcomd 7998 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท -1) = (-1 ยท ๐ต))
1917mulm1d 8386 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต)
2018, 19eqtrd 2222 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท -1) = -๐ต)
2120oveq1d 5906 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))
228, 15, 213eqtr3d 2230 1 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  0cc0 7830  1c1 7831   ยท cmul 7835   < clt 8011  -cneg 8148  โ„คcz 9272  โ„šcq 9638   mod cmo 10341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-q 9639  df-rp 9673  df-fl 10289  df-mod 10342
This theorem is referenced by:  modqsub12d  10400
  Copyright terms: Public domain W3C validator