![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modqnegd | GIF version |
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
modqnegd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
modqnegd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
modqnegd.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
modqnegd.cgt0 | โข (๐ โ 0 < ๐ถ) |
modqnegd.4 | โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) |
Ref | Expression |
---|---|
modqnegd | โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | modqnegd.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | modqnegd.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | neg1z 9298 | . . . 4 โข -1 โ โค | |
4 | 3 | a1i 9 | . . 3 โข (๐ โ -1 โ โค) |
5 | modqnegd.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
6 | modqnegd.cgt0 | . . 3 โข (๐ โ 0 < ๐ถ) | |
7 | modqnegd.4 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ)) | |
8 | 1, 2, 4, 5, 6, 7 | modqmul1 10390 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ)) |
9 | qcn 9647 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
10 | 1, 9 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
11 | 4 | zcnd 9389 | . . . . 5 โข (๐ โ -1 โ โ) |
12 | 10, 11 | mulcomd 7992 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด)) |
13 | 10 | mulm1d 8380 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด) |
14 | 12, 13 | eqtrd 2220 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท -1) = -๐ด) |
15 | 14 | oveq1d 5903 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ด mod ๐ถ)) |
16 | qcn 9647 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
17 | 2, 16 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
18 | 17, 11 | mulcomd 7992 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = (-1 ยท ๐ต)) |
19 | 17 | mulm1d 8380 | . . . 4 โข (๐ โ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต) |
20 | 18, 19 | eqtrd 2220 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต ยท -1) = -๐ต) |
21 | 20 | oveq1d 5903 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
22 | 8, 15, 21 | 3eqtr3d 2228 | 1 โข (๐ โ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 โcc 7822 0cc0 7824 1c1 7825 ยท cmul 7829 < clt 8005 -cneg 8142 โคcz 9266 โcq 9632 mod cmo 10335 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-n0 9190 df-z 9267 df-q 9633 df-rp 9667 df-fl 10283 df-mod 10336 |
This theorem is referenced by: modqsub12d 10394 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |