ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqnegd GIF version

Theorem modqnegd 10182
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqnegd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
modqnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
modqnegd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
modqnegd.cgt0 (𝜑 → 0 < 𝐶)
modqnegd.4 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
Assertion
Ref Expression
modqnegd (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))

Proof of Theorem modqnegd
StepHypRef Expression
1 modqnegd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
2 modqnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℚ)
3 neg1z 9109 . . . 4 -1 ∈ ℤ
43a1i 9 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
5 modqnegd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℚ)
6 modqnegd.cgt0 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐶)
7 modqnegd.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐶) = (𝐵 mod 𝐶))
81, 2, 4, 5, 6, 7modqmul1 10180 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = ((𝐵 · -1) mod 𝐶))
9 qcn 9452 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
101, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
114zcnd 9197 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
1210, 11mulcomd 7810 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
1310mulm1d 8195 . . . 4 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
1412, 13eqtrd 2173 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · -1) = -𝐴)
1514oveq1d 5796 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · -1) mod 𝐶) = (-𝐴 mod 𝐶))
16 qcn 9452 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
172, 16syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817, 11mulcomd 7810 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · -1) = (-1 · 𝐵))
1917mulm1d 8195 . . . 4 (𝜑 → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
2018, 19eqtrd 2173 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · -1) = -𝐵)
2120oveq1d 5796 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · -1) mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
228, 15, 213eqtr3d 2181 1 (𝜑 → (-𝐴 mod 𝐶) = (-𝐵 mod 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643  1c1 7644   · cmul 7648   < clt 7823  -cneg 7957  cz 9077  cq 9437   mod cmo 10125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-q 9438  df-rp 9470  df-fl 10073  df-mod 10126
This theorem is referenced by:  modqsub12d  10184
  Copyright terms: Public domain W3C validator