ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqnegd GIF version

Theorem modqnegd 10392
Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqnegd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
modqnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
modqnegd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
modqnegd.cgt0 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ถ)
modqnegd.4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ))
Assertion
Ref Expression
modqnegd (๐œ‘ โ†’ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))

Proof of Theorem modqnegd
StepHypRef Expression
1 modqnegd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 modqnegd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
3 neg1z 9298 . . . 4 -1 โˆˆ โ„ค
43a1i 9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
5 modqnegd.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„š)
6 modqnegd.cgt0 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ถ)
7 modqnegd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด mod ๐ถ) = (๐ต mod ๐ถ))
81, 2, 4, 5, 6, 7modqmul1 10390 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ))
9 qcn 9647 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
101, 9syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
114zcnd 9389 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
1210, 11mulcomd 7992 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด))
1310mulm1d 8380 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
1412, 13eqtrd 2220 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท -1) = -๐ด)
1514oveq1d 5903 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ด mod ๐ถ))
16 qcn 9647 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
172, 16syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817, 11mulcomd 7992 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท -1) = (-1 ยท ๐ต))
1917mulm1d 8380 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต)
2018, 19eqtrd 2220 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท -1) = -๐ต)
2120oveq1d 5903 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท -1) mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))
228, 15, 213eqtr3d 2228 1 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด mod ๐ถ) = (-๐ต mod ๐ถ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   ยท cmul 7829   < clt 8005  -cneg 8142  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632   mod cmo 10335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336
This theorem is referenced by:  modqsub12d  10394
  Copyright terms: Public domain W3C validator