Theorem mplplusgg 14845

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑌)
2		mplplusg.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplplusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	mplval2g 14837	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝑆 ↾s (Base‘𝑌)))
6		eqidd 2233	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
7		basfn 13260	. . . 4 ⊢ Base Fn V
8		fnmpl 14835	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
9		elex 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ V)
11		fnovex 6082	. . . . . 6 ⊢ (( mPoly Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrid 2319	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ V)
14		funfvex 5686	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑌 ∈ dom Base) → (Base‘𝑌) ∈ V)
15	14	funfni 5457	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑌) ∈ V)
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) ∈ V)
17		fnpsr 14802	. . . . 5 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnovex 6082	. . . . 5 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2319	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13331	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑌))
22	1, 21	eqtr4id 2284	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   × cxp 4746   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279   mPwSer cmps 14796   mPoly cmpl 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-tset 13298  df-rest 13443  df-topn 13444  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-psr 14798  df-mplcoe 14799

This theorem is referenced by:  mpladd  14846