Theorem mplplusgg 14987

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑌)
2		mplplusg.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplplusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	mplval2g 14979	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝑆 ↾s (Base‘𝑌)))
6		eqidd 2235	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
7		basfn 13358	. . . 4 ⊢ Base Fn V
8		fnmpl 14977	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
9		elex 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ V)
11		fnovex 6091	. . . . . 6 ⊢ (( mPoly Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrid 2321	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ V)
14		funfvex 5692	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑌 ∈ dom Base) → (Base‘𝑌) ∈ V)
15	14	funfni 5463	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑌) ∈ V)
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) ∈ V)
17		fnpsr 14944	. . . . 5 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnovex 6091	. . . . 5 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13429	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑌))
22	1, 21	eqtr4id 2286	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377   mPwSer cmps 14938   mPoly cmpl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-tset 13396  df-rest 13541  df-topn 13542  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-psr 14940  df-mplcoe 14941

This theorem is referenced by:  mpladd  14988