Theorem mplplusgg 14710

Description: Value of addition in a polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplplusg.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplplusg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
mplplusgg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Proof of Theorem mplplusgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplplusg.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑌)
2		mplplusg.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplplusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	mplval2g 14702	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝑆 ↾s (Base‘𝑌)))
6		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆))
7		basfn 13134	. . . 4 ⊢ Base Fn V
8		fnmpl 14700	. . . . . 6 ⊢ mPoly Fn (V × V)
9		elex 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ V)
10		elex 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ V)
11		fnovex 6046	. . . . . 6 ⊢ (( mPoly Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPoly 𝑅) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑌 ∈ V)
14		funfvex 5652	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑌 ∈ dom Base) → (Base‘𝑌) ∈ V)
15	14	funfni 5429	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑌) ∈ V)
16	7, 13, 15	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) ∈ V)
17		fnpsr 14674	. . . . 5 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
18		fnovex 6046	. . . . 5 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
19	17, 9, 10, 18	mp3an3an 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
20	3, 19	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
21	5, 6, 16, 20	ressplusgd 13205	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑌))
22	1, 21	eqtr4id 2281	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → + = (+g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   × cxp 4721   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153   mPwSer cmps 14668   mPoly cmpl 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-ixp 6863  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-tset 13172  df-rest 13317  df-topn 13318  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-psr 14670  df-mplcoe 14671

This theorem is referenced by:  mpladd  14711