ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mullocpr GIF version

Theorem mullocpr 7584
Description: Locatedness of multiplication on positive reals. Lemma 12.9 in [BauerTaylor], p. 56 (but where both ๐ด and ๐ต are positive, not just ๐ด). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mullocpr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem mullocpr
Dummy variables ๐‘‘ ๐‘’ ๐‘ก ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 7488 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
2 prmuloc 7579 . . . . . . . 8 ((โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
31, 2sylan 283 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
4 r2ex 2507 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ข โˆˆ Q (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘ข((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))))
53, 4sylib 122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘ข((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))))
65adantlr 477 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘ข((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))))
76adantlr 477 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘ข((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))))
8 simprr3 1048 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))
9 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q))
10 mulclnq 7389 . . . . . . . . 9 ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โ†’ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข) โˆˆ Q)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข) โˆˆ Q)
12 appdivnq 7576 . . . . . . . 8 (((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข) โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘’ โˆˆ Q ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
138, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ โˆƒ๐‘’ โˆˆ Q ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
14 simprrr 540 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))
1511adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข) โˆˆ Q)
16 appdivnq 7576 . . . . . . . . 9 (((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข) โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ Q ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
1714, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ Q ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))
18 simplll 533 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P))
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P))
20 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)))
2120ad2antlr 489 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)))
22 simprrl 539 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)))
23 simprrr 540 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))
24 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q))
2524ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q))
269ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q))
27 3simpa 995 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
2827ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
2928ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))
30 simplrl 535 . . . . . . . . . 10 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ Q)
31 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ Q)
3230, 31jca 306 . . . . . . . . 9 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ๐‘ก โˆˆ Q))
3319, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 32mullocprlem 7583 . . . . . . . 8 (((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘ก โˆˆ Q โˆง ((๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘ก ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
3417, 33rexlimddv 2609 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โˆง (๐‘’ โˆˆ Q โˆง ((๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) โˆง (๐‘’ ยทQ (๐‘‘ ยทQ ๐‘ข)) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
3513, 34rexlimddv 2609 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โˆง ((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
3635ex 115 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ (((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
3736exlimdvv 1907 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ (โˆƒ๐‘‘โˆƒ๐‘ข((๐‘‘ โˆˆ Q โˆง ๐‘ข โˆˆ Q) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โˆง (๐‘ข ยทQ ๐‘ž) <Q (๐‘‘ ยทQ ๐‘Ÿ))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
387, 37mpd 13 . . 3 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ž <Q ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
3938ex 115 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
4039ralrimivva 2569 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  1st c1st 6153  2nd c2nd 6154  Qcnq 7293   ยทQ cmq 7296   <Q cltq 7298  Pcnp 7304   ยทP cmp 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-imp 7482
This theorem is referenced by:  mulclpr  7585
  Copyright terms: Public domain W3C validator