Theorem xpnnen 12850

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	|- ( NN X. NN ) ~~ NN

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- { z e. NN | -. 2 || z } = { z e. NN | -. 2 || z }
2		eqid 2206	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) = ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
3	1, 2	oddpwdc 12581	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
4		f1ocnv 5552	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
5		nnex 9072	. . . 4 |- NN e. _V
6	5	f1oen 6868	. . 3 |- ( `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -> NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 |- NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 )
8		oddennn 12848	. . 3 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
9		nn0ennn 10610	. . 3 |- NN0 ~~ NN
10		xpen 6962	. . 3 |- ( ( { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN /\ NN0 ~~ NN ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN ) )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN )
12	7, 11	entr2i 6897	1 |- ( NN X. NN ) ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   {crab 2489   class class class wbr 4054   X. cxp 4686   `'ccnv 4687   -1-1-onto->wf1o 5284  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964   ~~ cen 6843   x. cmul 7960   NNcn 9066   2c2 9117   NN0cn0 9325   ^cexp 10715   || cdvds 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-er 6638  df-en 6846  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fz 10161  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-dvds 12184

This theorem is referenced by:  xpomen  12851  qnnen  12887