Theorem xpnnen 12074

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	|- ( NN X. NN ) ~~ NN

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2154	. . . 4 |- { z e. NN | -. 2 || z } = { z e. NN | -. 2 || z }
2		eqid 2154	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) = ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
3	1, 2	oddpwdc 12019	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
4		f1ocnv 5420	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
5		nnex 8818	. . . 4 |- NN e. _V
6	5	f1oen 6693	. . 3 |- ( `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -> NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 |- NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 )
8		oddennn 12072	. . 3 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
9		nn0ennn 10310	. . 3 |- NN0 ~~ NN
10		xpen 6779	. . 3 |- ( ( { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN /\ NN0 ~~ NN ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN ) )
11	8, 9, 10	mp2an 423	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN )
12	7, 11	entr2i 6721	1 |- ( NN X. NN ) ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   {crab 2436   class class class wbr 3961   X. cxp 4577   `'ccnv 4578   -1-1-onto->wf1o 5162  (class class class)co 5814   e. cmpo 5816   ~~ cen 6672   x. cmul 7716   NNcn 8812   2c2 8863   NN0cn0 9069   ^cexp 10396   || cdvds 11660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-er 6469  df-en 6675  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-dvds 11661

This theorem is referenced by:  xpomen  12075  qnnen  12111