Theorem xpnnen 13145

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	|- ( NN X. NN ) ~~ NN

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- { z e. NN | -. 2 || z } = { z e. NN | -. 2 || z }
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) = ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
3	1, 2	oddpwdc 12871	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
4		f1ocnv 5627	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
5		nnex 9243	. . . 4 |- NN e. _V
6	5	f1oen 6998	. . 3 |- ( `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -> NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 |- NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 )
8		oddennn 13143	. . 3 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
9		nn0ennn 10795	. . 3 |- NN0 ~~ NN
10		xpen 7098	. . 3 |- ( ( { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN /\ NN0 ~~ NN ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN ) )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN )
12	7, 11	entr2i 7027	1 |- ( NN X. NN ) ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   {crab 2524   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   `'ccnv 4748   -1-1-onto->wf1o 5351  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   ~~ cen 6973   x. cmul 8132   NNcn 9237   2c2 9288   NN0cn0 9496   ^cexp 10900   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-er 6767  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  xpomen  13146  qnnen  13182