Theorem xpnnen 12798

Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpnnen	|- ( NN X. NN ) ~~ NN

Proof of Theorem xpnnen

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . 4 |- { z e. NN | -. 2 || z } = { z e. NN | -. 2 || z }
2		eqid 2205	. . . 4 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) = ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
3	1, 2	oddpwdc 12529	. . 3 |- ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN
4		f1ocnv 5537	. . 3 |- ( ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -1-1-onto-> NN -> `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
5		nnex 9044	. . . 4 |- NN e. _V
6	5	f1oen 6852	. . 3 |- ( `' ( x e. { z e. NN | -. 2 || z } , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) -> NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) )
7	3, 4, 6	mp2b 8	. 2 |- NN ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 )
8		oddennn 12796	. . 3 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
9		nn0ennn 10580	. . 3 |- NN0 ~~ NN
10		xpen 6944	. . 3 |- ( ( { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN /\ NN0 ~~ NN ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN ) )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } X. NN0 ) ~~ ( NN X. NN )
12	7, 11	entr2i 6881	1 |- ( NN X. NN ) ~~ NN

Syntax hints:   -. wn 3   {crab 2488   class class class wbr 4045   X. cxp 4674   `'ccnv 4675   -1-1-onto->wf1o 5271  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   ~~ cen 6827   x. cmul 7932   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ^cexp 10685   || cdvds 12131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-er 6622  df-en 6830  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fl 10415  df-mod 10470  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-dvds 12132

This theorem is referenced by:  xpomen  12799  qnnen  12835