Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nn0opth2d | GIF version |
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10668. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opthd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ0) |
nn0opthd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ0) |
nn0opthd.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) |
nn0opthd.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opth2d | โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0opthd.1 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ0) | |
2 | nn0opthd.2 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ0) | |
3 | 1, 2 | nn0addcld 9204 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ0) |
4 | 3 | nn0cnd 9202 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
5 | 4 | sqvald 10618 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต))) |
6 | 5 | oveq1d 5880 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต)) |
7 | nn0opthd.3 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) | |
8 | nn0opthd.4 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
9 | 7, 8 | nn0addcld 9204 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ0) |
10 | 9 | nn0cnd 9202 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ) |
11 | 10 | sqvald 10618 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท)โ2) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท))) |
12 | 11 | oveq1d 5880 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) |
13 | 6, 12 | eqeq12d 2190 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))) |
14 | 1, 2, 7, 8 | nn0opthd 10668 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
15 | 13, 14 | bitrd 188 | 1 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1353 โ wcel 2146 (class class class)co 5865 + caddc 7789 ยท cmul 7791 2c2 8941 โ0cn0 9147 โcexp 10487 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-coll 4113 ax-sep 4116 ax-nul 4124 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-iinf 4581 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-csb 3056 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-nul 3421 df-if 3533 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-int 3841 df-iun 3884 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-tr 4097 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-iord 4360 df-on 4362 df-ilim 4363 df-suc 4365 df-iom 4584 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-f1 5213 df-fo 5214 df-f1o 5215 df-fv 5216 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-1st 6131 df-2nd 6132 df-recs 6296 df-frec 6382 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8602 df-inn 8891 df-2 8949 df-n0 9148 df-z 9225 df-uz 9500 df-seqfrec 10414 df-exp 10488 |
This theorem is referenced by: nn0opth2 10670 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |