ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opth2d GIF version

Theorem nn0opth2d 10669
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10668. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
nn0opth2d (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem nn0opth2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
31, 2nn0addcld 9204 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
43nn0cnd 9202 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
54sqvald 10618 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)))
65oveq1d 5880 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
7 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
8 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
97, 8nn0addcld 9204 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„•0)
109nn0cnd 9202 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1110sqvald 10618 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
1211oveq1d 5880 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
136, 12eqeq12d 2190 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
141, 2, 7, 8nn0opthd 10668 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
1513, 14bitrd 188 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146  (class class class)co 5865   + caddc 7789   ยท cmul 7791  2c2 8941  โ„•0cn0 9147  โ†‘cexp 10487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-seqfrec 10414  df-exp 10488
This theorem is referenced by:  nn0opth2  10670
  Copyright terms: Public domain W3C validator