Theorem nn0opth2d 11084

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 11083. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opth2d	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opth2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	nn0addcld 9556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	sqvald 11031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
6	5	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
7		nn0opthd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
8		nn0opthd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nn0addcld 9556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 9554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 11031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)↑2) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
12	11	oveq1d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
13	6, 12	eqeq12d 2247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
14	1, 2, 7, 8	nn0opthd 11083	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
15	13, 14	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049   + caddc 8129   · cmul 8131  2c2 9287  ℕ₀cn0 9495  ↑cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  nn0opth2  11085