![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nn0opth2d | GIF version |
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10720. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opthd.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ0) |
nn0opthd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ0) |
nn0opthd.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) |
nn0opthd.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0opth2d | โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0opthd.1 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ0) | |
2 | nn0opthd.2 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ0) | |
3 | 1, 2 | nn0addcld 9251 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ0) |
4 | 3 | nn0cnd 9249 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
5 | 4 | sqvald 10669 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต))) |
6 | 5 | oveq1d 5906 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต)) |
7 | nn0opthd.3 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ0) | |
8 | nn0opthd.4 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ท โ โ0) | |
9 | 7, 8 | nn0addcld 9251 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ0) |
10 | 9 | nn0cnd 9249 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ถ + ๐ท) โ โ) |
11 | 10 | sqvald 10669 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ถ + ๐ท)โ2) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท))) |
12 | 11 | oveq1d 5906 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) |
13 | 6, 12 | eqeq12d 2204 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))) |
14 | 1, 2, 7, 8 | nn0opthd 10720 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
15 | 13, 14 | bitrd 188 | 1 โข (๐ โ ((((๐ด + ๐ต)โ2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ2) + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1364 โ wcel 2160 (class class class)co 5891 + caddc 7832 ยท cmul 7834 2c2 8988 โ0cn0 9194 โcexp 10537 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1cn 7922 ax-1re 7923 ax-icn 7924 ax-addcl 7925 ax-addrcl 7926 ax-mulcl 7927 ax-mulrcl 7928 ax-addcom 7929 ax-mulcom 7930 ax-addass 7931 ax-mulass 7932 ax-distr 7933 ax-i2m1 7934 ax-0lt1 7935 ax-1rid 7936 ax-0id 7937 ax-rnegex 7938 ax-precex 7939 ax-cnre 7940 ax-pre-ltirr 7941 ax-pre-ltwlin 7942 ax-pre-lttrn 7943 ax-pre-apti 7944 ax-pre-ltadd 7945 ax-pre-mulgt0 7946 ax-pre-mulext 7947 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-pnf 8012 df-mnf 8013 df-xr 8014 df-ltxr 8015 df-le 8016 df-sub 8148 df-neg 8149 df-reap 8550 df-ap 8557 df-div 8648 df-inn 8938 df-2 8996 df-n0 9195 df-z 9272 df-uz 9547 df-seqfrec 10464 df-exp 10538 |
This theorem is referenced by: nn0opth2 10722 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |