Theorem nn0opth2d 10716

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10715. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opth2d	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opth2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	nn0addcld 9246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	sqvald 10664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)))
6	5	oveq1d 5903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
7		nn0opthd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
8		nn0opthd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nn0addcld 9246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 9244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 10664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)↑2) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
12	11	oveq1d 5903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
13	6, 12	eqeq12d 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
14	1, 2, 7, 8	nn0opthd 10715	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
15	13, 14	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷)↑2) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888   + caddc 7827   · cmul 7829  2c2 8983  ℕ₀cn0 9189  ↑cexp 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533

This theorem is referenced by:  nn0opth2  10717