ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opth2d GIF version

Theorem nn0opth2d 10721
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. See comments for nn0opthd 10720. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
nn0opth2d (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem nn0opth2d
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
31, 2nn0addcld 9251 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
43nn0cnd 9249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
54sqvald 10669 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)))
65oveq1d 5906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
7 nn0opthd.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
8 nn0opthd.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
97, 8nn0addcld 9251 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„•0)
109nn0cnd 9249 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1110sqvald 10669 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
1211oveq1d 5906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
136, 12eqeq12d 2204 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
141, 2, 7, 8nn0opthd 10720 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
1513, 14bitrd 188 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท)โ†‘2) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  (class class class)co 5891   + caddc 7832   ยท cmul 7834  2c2 8988  โ„•0cn0 9194  โ†‘cexp 10537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-seqfrec 10464  df-exp 10538
This theorem is referenced by:  nn0opth2  10722
  Copyright terms: Public domain W3C validator