Theorem nominpos 9345

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 9334	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2		2re 9176	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2pos 9197	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4		divgt0 9015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
5	2, 3, 4	mpanr12 439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7		halfpos 9338	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
9	6, 8	jcad 307	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10		breq2 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11		breq1 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
13	12	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))
14	1, 9, 13	syl6an 1476	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
15		imanim 692	. . 3 ⊢ ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
17	16	nrex 2622	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995   < clt 8177   / cdiv 8815  2c2 9157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-2 9165

This theorem is referenced by: (None)