Theorem nominpos 8957

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 8947	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2		2re 8790	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2pos 8811	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4		divgt0 8630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
5	2, 3, 4	mpanr12 435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
6	5	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7		halfpos 8951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
8	7	biimpd 143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
9	6, 8	jcad 305	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10		breq2 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11		breq1 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
12	10, 11	anbi12d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
13	12	rspcev 2789	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))
14	1, 9, 13	syl6an 1410	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
15		imanim 677	. . 3 ⊢ ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
17	16	nrex 2524	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620   < clt 7800   / cdiv 8432  2c2 8771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-2 8779

This theorem is referenced by: (None)