Theorem nominpos 9381

Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nominpos	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nominpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcl 9370	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2		2re 9212	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2pos 9233	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4		divgt0 9051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑥 / 2))
5	2, 3, 4	mpanr12 439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 0 < (𝑥 / 2))
6	5	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → 0 < (𝑥 / 2)))
7		halfpos 9374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (𝑥 / 2) < 𝑥))
9	6, 8	jcad 307	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
10		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (0 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑥 / 2)))
11		breq1 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 2) < 𝑥))
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 2) → ((0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ↔ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)))
13	12	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ (((𝑥 / 2) ∈ ℝ ∧ (0 < (𝑥 / 2) ∧ (𝑥 / 2) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))
14	1, 9, 13	syl6an 1478	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
15		imanim 694	. . 3 ⊢ ((0 < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)) → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥)))
17	16	nrex 2624	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031   < clt 8213   / cdiv 8851  2c2 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201

This theorem is referenced by: (None)