Theorem oddm1even 11608

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 9198	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. CC )
3		1cnd 7806	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 1 e. CC )
4		2cnd 8817	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 2 e. CC )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6	5	zcnd 9198	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
7	4, 6	mulcld 7810	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
8	2, 3, 7	subadd2d 8116	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
9		eqcom 2142	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) )
10	4, 6	mulcomd 7811	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) = ( n x. 2 ) )
11	10	eqeq1d 2149	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
12	9, 11	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
13	8, 12	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
14	13	rexbidva 2435	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
15		odd2np1 11606	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		2z 9106	. . 3 |- 2 e. ZZ
17		peano2zm 9116	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18		divides 11531	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
19	16, 17, 18	sylancr 411	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
20	14, 15, 19	3bitr4d 219	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   - cmin 7957   2c2 8795   ZZcz 9078   || cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-xor 1355  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  oddp1even  11609  n2dvds3  11648  oddennn  11941