Theorem oddm1even 11834

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 9335	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. CC )
3		1cnd 7936	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 1 e. CC )
4		2cnd 8951	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 2 e. CC )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6	5	zcnd 9335	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
7	4, 6	mulcld 7940	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
8	2, 3, 7	subadd2d 8249	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
9		eqcom 2172	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) )
10	4, 6	mulcomd 7941	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) = ( n x. 2 ) )
11	10	eqeq1d 2179	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
12	9, 11	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
13	8, 12	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
14	13	rexbidva 2467	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
15		odd2np1 11832	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		2z 9240	. . 3 |- 2 e. ZZ
17		peano2zm 9250	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18		divides 11751	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
19	16, 17, 18	sylancr 412	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
20	14, 15, 19	3bitr4d 219	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   2c2 8929   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  oddp1even  11835  n2dvds3  11874  oddennn  12347