Theorem oddm1even 11812

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	|- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 9314	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> N e. CC )
3		1cnd 7915	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 1 e. CC )
4		2cnd 8930	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 2 e. CC )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
6	5	zcnd 9314	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. CC )
7	4, 6	mulcld 7919	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
8	2, 3, 7	subadd2d 8228	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
9		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) )
10	4, 6	mulcomd 7920	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) = ( n x. 2 ) )
11	10	eqeq1d 2174	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = ( N - 1 ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
12	9, 11	syl5bb 191	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) = ( 2 x. n ) <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
13	8, 12	bitr3d 189	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
14	13	rexbidva 2463	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
15		odd2np1 11810	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		2z 9219	. . 3 |- 2 e. ZZ
17		peano2zm 9229	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
18		divides 11729	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
19	16, 17, 18	sylancr 411	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 2 || ( N - 1 ) <-> E. n e. ZZ ( n x. 2 ) = ( N - 1 ) ) )
20	14, 15, 19	3bitr4d 219	1 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> 2 || ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   - cmin 8069   2c2 8908   ZZcz 9191   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  oddp1even  11813  n2dvds3  11852  oddennn  12325