ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddm1even Unicode version

Theorem oddm1even 11893
Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddm1even  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )

Proof of Theorem oddm1even
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
21zcnd 9389 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
3 1cnd 7986 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
4 2cnd 9005 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
5 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
65zcnd 9389 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
74, 6mulcld 7991 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
82, 3, 7subadd2d 8300 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
9 eqcom 2189 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  n )  <->  ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 ) )
104, 6mulcomd 7992 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( n  x.  2 ) )
1110eqeq1d 2196 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
129, 11bitrid 192 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
138, 12bitr3d 190 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413rexbidva 2484 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
15 odd2np1 11891 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
16 2z 9294 . . 3  |-  2  e.  ZZ
17 peano2zm 9304 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
18 divides 11809 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( N  -  1
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2
)  =  ( N  -  1 ) ) )
1916, 17, 18sylancr 414 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
2014, 15, 193bitr4d 220 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   E.wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   1c1 7825    + caddc 7827    x. cmul 7829    - cmin 8141   2c2 8983   ZZcz 9266    || cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  oddp1even  11894  n2dvds3  11933  oddennn  12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator