ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddm1even Unicode version

Theorem oddm1even 11821
Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddm1even  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )

Proof of Theorem oddm1even
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
21zcnd 9322 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
3 1cnd 7923 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
4 2cnd 8938 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
5 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
65zcnd 9322 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
74, 6mulcld 7927 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
82, 3, 7subadd2d 8236 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
9 eqcom 2172 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  n )  <->  ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 ) )
104, 6mulcomd 7928 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( n  x.  2 ) )
1110eqeq1d 2179 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  =  ( N  -  1 )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
129, 11syl5bb 191 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  =  ( 2  x.  n )  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
138, 12bitr3d 189 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <-> 
( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413rexbidva 2467 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
15 odd2np1 11819 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
16 2z 9227 . . 3  |-  2  e.  ZZ
17 peano2zm 9237 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
18 divides 11738 . . 3  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  ||  ( N  -  1
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2
)  =  ( N  -  1 ) ) )
1916, 17, 18sylancr 412 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  x.  2 )  =  ( N  -  1 ) ) )
2014, 15, 193bitr4d 219 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  2  ||  ( N  -  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   1c1 7762    + caddc 7764    x. cmul 7766    - cmin 8077   2c2 8916   ZZcz 9199    || cdvds 11736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-dvds 11737
This theorem is referenced by:  oddp1even  11822  n2dvds3  11861  oddennn  12334
  Copyright terms: Public domain W3C validator