Theorem oddp1even 11150

Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddp1even	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem oddp1even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddm1even 11149	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
2		2z 8776	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		peano2zm 8786	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4		dvdsadd 11113	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
5	2, 3, 4	sylancr 405	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
6		2cnd 8493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		zcn 8753	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 7502	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 7814	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (2 − 1)))
10		2m1e1 8538	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
11	10	oveq2i 5663	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
12	9, 11	syl6eq 2136	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
13	12	breq2d 3857	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (2 + (𝑁 − 1)) ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
14	1, 5, 13	3bitrd 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 103   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  1c1 7349   + caddc 7351   − cmin 7651  2c2 8471  ℤcz 8748   ∥ cdvds 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-dvds 11071

This theorem is referenced by:  zeo5  11162  oddp1d2  11164  n2dvdsm1  11187  2sqpwodd  11428  oddennn  11479