ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddp1even GIF version

Theorem oddp1even 11895
Description: An integer is odd iff its successor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
oddp1even (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem oddp1even
StepHypRef Expression
1 oddm1even 11894 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
2 2z 9295 . . 3 2 ∈ ℤ
3 peano2zm 9305 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4 dvdsadd 11857 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
52, 3, 4sylancr 414 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝑁 − 1))))
6 2cnd 9006 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7 zcn 9272 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 7987 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 8305 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + (2 − 1)))
10 2m1e1 9051 . . . . 5 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 5899 . . . 4 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
129, 11eqtrdi 2236 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
1312breq2d 4027 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (2 + (𝑁 − 1)) ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
141, 5, 133bitrd 214 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 105  wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  1c1 7826   + caddc 7828  cmin 8142  2c2 8984  cz 9267  cdvds 11808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-dvds 11809
This theorem is referenced by:  zeo5  11907  oddp1d2  11909  n2dvdsm1  11932  2sqpwodd  12190  oddennn  12407
  Copyright terms: Public domain W3C validator