Theorem pfxlen 11402

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	|- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> (♯ ` ( S prefix L ) ) = L )

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 11400	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( S prefix L ) Fn ( 0..^ L ) )
2		0z 9605	. . . 4 |- 0 e. ZZ
3		elfzelz 10378	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) -> L e. ZZ )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> L e. ZZ )
5		fzofig 10818	. . . 4 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0..^ L ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> ( 0..^ L ) e. Fin )
7		fihashfn 11189	. . 3 |- ( ( ( S prefix L ) Fn ( 0..^ L ) /\ ( 0..^ L ) e. Fin ) -> (♯ ` ( S prefix L ) ) = (♯ ` ( 0..^ L ) ) )
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> (♯ ` ( S prefix L ) ) = (♯ ` ( 0..^ L ) ) )
9		elfznn0 10470	. . . 4 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) -> L e. NN0 )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> L e. NN0 )
11		hashfzo0 11213	. . 3 |- ( L e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ L ) ) = L )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ L ) ) = L )
13	8, 12	eqtrd 2267	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... (♯ ` S ) ) ) -> (♯ ` ( S prefix L ) ) = L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   prefix cpfx 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-substr 11363  df-pfx 11390

This theorem is referenced by:  addlenpfx  11408  pfxfvlsw  11412  pfxeq  11413  ccatpfx  11418  lenrevpfxcctswrd  11429  wrdind  11439  wrd2ind  11440  pfxccatin12  11450  wlkres  16500  trlreslem  16510