Theorem pfxfv 11216

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	|- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( W ` I ) )

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10310	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L e. NN0 )
2		pfxval 11206	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ L e. NN0 ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
4	3	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
5	4	fveq1d 5629	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) )
6		simp1 1021	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> W e. Word V )
7		0elfz 10314	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... L ) )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
9	8	3ad2ant2 1043	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
10		simp2 1022	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
11	1	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L e. CC )
12	11	subid1d 8446	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( L - 0 ) = L )
13	12	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L = ( L - 0 ) )
14	13	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ L ) = ( 0..^ ( L - 0 ) ) )
15	14	eleq2d 2299	. . . . . 6 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) <-> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) )
16	15	biimpd 144	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) )
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) ) )
18	17	3imp 1217	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) )
19		swrdfv 11185	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) = ( W ` ( I + 0 ) ) )
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1274	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) = ( W ` ( I + 0 ) ) )
21		elfzoelz 10343	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ZZ )
22	21	zcnd 9570	. . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. CC )
23	22	addridd 8295	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> ( I + 0 ) = I )
24	23	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( I + 0 ) = I )
25	24	fveq2d 5631	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( W ` ( I + 0 ) ) = ( W ` I ) )
26	5, 20, 25	3eqtrd 2266	1 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( W ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   0cc0 7999   + caddc 8002   - cmin 8317   NN0cn0 9369   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997  Word cword 11071   substr csubstr 11177   prefix cpfx 11204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998  df-word 11072  df-substr 11178  df-pfx 11205

This theorem is referenced by:  pfxid  11218  pfxfv0  11224  pfxtrcfv  11225  pfxfvlsw  11227  pfxeq  11228  ccatpfx  11233  pfxccatin12lem2  11263