Theorem pfxfv 11434

Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv	|- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( W ` I ) )

Proof of Theorem pfxfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10499	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L e. NN0 )
2		pfxval 11424	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ L e. NN0 ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
4	3	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( W prefix L ) = ( W substr <. 0 , L >. ) )
5	4	fveq1d 5692	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) )
6		simp1 1028	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> W e. Word V )
7		0elfz 10503	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... L ) )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
9	8	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
10		simp2 1029	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) )
11	1	nn0cnd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L e. CC )
12	11	subid1d 8616	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( L - 0 ) = L )
13	12	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> L = ( L - 0 ) )
14	13	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( 0..^ L ) = ( 0..^ ( L - 0 ) ) )
15	14	eleq2d 2308	. . . . . 6 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) <-> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) )
16	15	biimpd 144	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) )
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) -> ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) ) )
18	17	3imp 1224	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) )
19		swrdfv 11403	. . 3 |- ( ( ( W e. Word V /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) ) /\ I e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) = ( W ` ( I + 0 ) ) )
20	6, 9, 10, 18, 19	syl31anc 1281	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W substr <. 0 , L >. ) ` I ) = ( W ` ( I + 0 ) ) )
21		elfzoelz 10532	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. ZZ )
22	21	zcnd 9748	. . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> I e. CC )
23	22	addridd 8465	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ L ) -> ( I + 0 ) = I )
24	23	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( I + 0 ) = I )
25	24	fveq2d 5694	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( W ` ( I + 0 ) ) = ( W ` I ) )
26	5, 20, 25	3eqtrd 2275	1 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... (♯ ` W ) ) /\ I e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( W prefix L ) ` I ) = ( W ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   + caddc 8172   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   substr csubstr 11395   prefix cpfx 11422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-substr 11396  df-pfx 11423

This theorem is referenced by:  pfxid  11436  pfxfv0  11442  pfxtrcfv  11443  pfxfvlsw  11445  pfxeq  11446  ccatpfx  11451  pfxccatin12lem2  11481