Theorem pfxlen 11381

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 11379	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
2		0z 9590	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		elfzelz 10362	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
5		fzofig 10798	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0..^𝐿) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ∈ Fin)
7		fihashfn 11168	. . 3 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿) ∧ (0..^𝐿) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
9		elfznn0 10452	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11		hashfzo0 11192	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
13	8, 12	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  0cc0 8129  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228   prefix cpfx 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-substr 11342  df-pfx 11369

This theorem is referenced by:  addlenpfx  11387  pfxfvlsw  11391  pfxeq  11392  ccatpfx  11397  lenrevpfxcctswrd  11408  wrdind  11418  wrd2ind  11419  pfxccatin12  11429  wlkres  16391  trlreslem  16401