Theorem trlreslem 16433

Description: Lemma for trlres 16434. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	|- V = (Vtx ` G )
trlres.i	|- I = (iEdg ` G )
trlres.d	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlres.h	|- H = ( F prefix N )

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	|- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
2		trlres.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	2	trlf1 16432	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
5		trlres.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
6		elfzouz2 10503	. . . 4 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
7		fzoss2 10515	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
9		f1ores 5631	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
11		trlres.h	. . . 4 |- H = ( F prefix N )
12		trliswlk 16430	. . . . . 6 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
13	2	wlkf 16374	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
14	1, 12, 13	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Word dom I )
15		fzossfz 10507	. . . . . 6 |- ( 0..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0 ... (♯ ` F ) )
16	15, 5	sselid 3238	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
17		pfxres 11381	. . . . 5 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
19	11, 18	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ph -> H = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
20	11	fveq2i 5675	. . . . 5 |- (♯ ` H ) = (♯ ` ( F prefix N ) )
21		elfzofz 10504	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
22	5, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
23		pfxlen 11385	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
24	14, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
25	20, 24	eqtrid 2279	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` H ) = N )
26	25	oveq2d 6068	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ (♯ ` H ) ) = ( 0..^ N ) )
27		wrdf 11238	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
28		fimass 5527	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
29	13, 27, 28	3syl 17	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
30	1, 12, 29	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
31		ssdmres 5062	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
32	30, 31	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
33	19, 26, 32	f1oeq123d 5610	. 2 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) <-> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
34	10, 33	mpbird 167	1 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   dom cdm 4751   |` cres 4753   "cima 4754   -->wf 5350   -1-1->wf1 5351   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8132   ZZ>=cuz 9859   ...cfz 10348  ..^cfzo 10483  ♯chash 11146  Word cword 11232   prefix cpfx 11372  Vtxcvtx 16056  iEdgciedg 16057  Walkscwlks 16361  Trailsctrls 16424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-ihash 11147  df-word 11233  df-substr 11346  df-pfx 11373  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-wlks 16362  df-trls 16425

This theorem is referenced by:  trlres  16434  eupthres  16501