Theorem trlreslem 16107

Description: Lemma for trlres 16108. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	|- V = (Vtx ` G )
trlres.i	|- I = (iEdg ` G )
trlres.d	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlres.h	|- H = ( F prefix N )

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	|- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
2		trlres.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	2	trlf1 16106	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
5		trlres.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
6		elfzouz2 10366	. . . 4 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
7		fzoss2 10378	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
9		f1ores 5589	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
11		trlres.h	. . . 4 |- H = ( F prefix N )
12		trliswlk 16105	. . . . . 6 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
13	2	wlkf 16051	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
14	1, 12, 13	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Word dom I )
15		fzossfz 10370	. . . . . 6 |- ( 0..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0 ... (♯ ` F ) )
16	15, 5	sselid 3222	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
17		pfxres 11221	. . . . 5 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
19	11, 18	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ph -> H = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
20	11	fveq2i 5632	. . . . 5 |- (♯ ` H ) = (♯ ` ( F prefix N ) )
21		elfzofz 10367	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
22	5, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
23		pfxlen 11225	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
24	14, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
25	20, 24	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` H ) = N )
26	25	oveq2d 6023	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ (♯ ` H ) ) = ( 0..^ N ) )
27		wrdf 11085	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
28		fimass 5489	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
29	13, 27, 28	3syl 17	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
30	1, 12, 29	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
31		ssdmres 5027	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
32	30, 31	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
33	19, 26, 32	f1oeq123d 5568	. 2 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) <-> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
34	10, 33	mpbird 167	1 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   |` cres 4721   "cima 4722   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   0cc0 8007   ZZ>=cuz 9730   ...cfz 10212  ..^cfzo 10346  ♯chash 11005  Word cword 11079   prefix cpfx 11212  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  Walkscwlks 16038  Trailsctrls 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-ihash 11006  df-word 11080  df-substr 11186  df-pfx 11213  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-wlks 16039  df-trls 16100

This theorem is referenced by:  trlres  16108