Theorem trlreslem 16868

Description: Lemma for trlres 16869. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	|- V = (Vtx ` G )
trlres.i	|- I = (iEdg ` G )
trlres.d	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlres.h	|- H = ( F prefix N )

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	|- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
2		trlres.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	2	trlf1 16867	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
5		trlres.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
6		elfzouz2 10586	. . . 4 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
7		fzoss2 10598	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
9		f1ores 5657	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
11		trlres.h	. . . 4 |- H = ( F prefix N )
12		trliswlk 16865	. . . . . 6 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
13	2	wlkf 16809	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
14	1, 12, 13	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Word dom I )
15		fzossfz 10590	. . . . . 6 |- ( 0..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0 ... (♯ ` F ) )
16	15, 5	sselid 3246	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
17		pfxres 11475	. . . . 5 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
19	11, 18	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ph -> H = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
20	11	fveq2i 5701	. . . . 5 |- (♯ ` H ) = (♯ ` ( F prefix N ) )
21		elfzofz 10587	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
22	5, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
23		pfxlen 11479	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
24	14, 22, 23	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
25	20, 24	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` H ) = N )
26	25	oveq2d 6104	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ (♯ ` H ) ) = ( 0..^ N ) )
27		wrdf 11332	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
28		fimass 5553	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
29	13, 27, 28	3syl 17	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
30	1, 12, 29	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
31		ssdmres 5087	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
32	30, 31	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
33	19, 26, 32	f1oeq123d 5636	. 2 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) <-> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
34	10, 33	mpbird 167	1 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   |` cres 4778   "cima 4779   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8186   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   prefix cpfx 11466  Vtxcvtx 16491  iEdgciedg 16492  Walkscwlks 16796  Trailsctrls 16859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-substr 11440  df-pfx 11467  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16484  df-vtx 16493  df-iedg 16494  df-wlks 16797  df-trls 16860

This theorem is used by:  trlres  16869  eupthres  16936