Theorem trlreslem 16642

Description: Lemma for trlres 16643. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlres.v	|- V = (Vtx ` G )
trlres.i	|- I = (iEdg ` G )
trlres.d	|- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
trlres.n	|- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
trlres.h	|- H = ( F prefix N )

Assertion

Ref	Expression
trlreslem	|- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

Proof of Theorem trlreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlres.d	. . . 4 |- ( ph -> F (Trails ` G ) P )
2		trlres.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	2	trlf1 16641	. . . 4 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I )
5		trlres.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
6		elfzouz2 10571	. . . 4 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) )
7		fzoss2 10583	. . . 4 |- ( (♯ ` F ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
9		f1ores 5654	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) -1-1-> dom I /\ ( 0..^ N ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) )
11		trlres.h	. . . 4 |- H = ( F prefix N )
12		trliswlk 16639	. . . . . 6 |- ( F (Trails ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
13	2	wlkf 16583	. . . . . 6 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
14	1, 12, 13	3syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F e. Word dom I )
15		fzossfz 10575	. . . . . 6 |- ( 0..^ (♯ ` F ) ) C_ ( 0 ... (♯ ` F ) )
16	15, 5	sselid 3246	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
17		pfxres 11455	. . . . 5 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( F prefix N ) = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
19	11, 18	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ph -> H = ( F |` ( 0..^ N ) ) )
20	11	fveq2i 5698	. . . . 5 |- (♯ ` H ) = (♯ ` ( F prefix N ) )
21		elfzofz 10572	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
22	5, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) )
23		pfxlen 11459	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word dom I /\ N e. ( 0 ... (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
24	14, 22, 23	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> (♯ ` ( F prefix N ) ) = N )
25	20, 24	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` H ) = N )
26	25	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ (♯ ` H ) ) = ( 0..^ N ) )
27		wrdf 11312	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom I -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I )
28		fimass 5550	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> dom I -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
29	13, 27, 28	3syl 17	. . . . 5 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
30	1, 12, 29	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I )
31		ssdmres 5085	. . . 4 |- ( ( F " ( 0..^ N ) ) C_ dom I <-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
32	30, 31	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) = ( F " ( 0..^ N ) ) )
33	19, 26, 32	f1oeq123d 5633	. 2 |- ( ph -> ( H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) <-> ( F |` ( 0..^ N ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> ( F " ( 0..^ N ) ) ) )
34	10, 33	mpbird 167	1 |- ( ph -> H : ( 0..^ (♯ ` H ) ) -1-1-onto-> dom ( I |` ( F " ( 0..^ N ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   |` cres 4776   "cima 4777   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413  ..^cfzo 10551  ♯chash 11216  Word cword 11306   prefix cpfx 11446  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  Walkscwlks 16570  Trailsctrls 16633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-ihash 11217  df-word 11307  df-substr 11420  df-pfx 11447  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-wlks 16571  df-trls 16634

This theorem is used by:  trlres  16643  eupthres  16710