Theorem prdsgrpd 14144

Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )

Assertion

Ref	Expression
prdsgrpd	|- ( ph -> Y e. Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd

Dummy variables b a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2235	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2235	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdsgrpd.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
4		prdsgrpd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsgrpd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
6		prdsgrpd.r	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Grp )
7		grpmnd 13767	. . . . 5 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
8	7	ssriv 3246	. . . 4 |- Grp C_ Mnd
9		fss 5527	. . . 4 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
10	6, 8, 9	sylancl 413	. . 3 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
11	3, 4, 5, 10	prds0g 14142	. 2 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
12	3, 4, 5, 10	prdsmndd 14141	. 2 |- ( ph -> Y e. Mnd )
13		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14		eqid 2234	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
15	5	elexd 2829	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> S e. _V )
17	4	elexd 2829	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> I e. _V )
19	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> R : I --> Grp )
20		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
21		eqid 2234	. . . 4 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
22		eqid 2234	. . . 4 |- ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) = ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) )
23	3, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22	prdsinvlem 14143	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) ( +g ` Y ) a ) = ( 0g o. R ) ) )
24	23	simpld 112	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
25	23	simprd 114	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) ( +g ` Y ) a ) = ( 0g o. R ) )
26	1, 2, 11, 12, 24, 25	isgrpd2 13781	1 |- ( ph -> Y e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   |-> cmpt 4177   o. ccom 4759   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301   +g cplusg 13379   0gc0g 13558   Mndcmnd 13682   Grpcgrp 13760   invgcminusg 13761   X__scprds 14116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-map 6898  df-ixp 6948  df-sup 7289  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-fz 10366  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-sca 13395  df-vsca 13396  df-ip 13397  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-hom 13403  df-cco 13404  df-rest 13543  df-topn 13544  df-0g 13560  df-topgen 13562  df-pt 13563  df-mgm 13624  df-sgrp 13670  df-mnd 13683  df-grp 13763  df-minusg 13764  df-prds 14117

This theorem is referenced by:  prdsinvgd  14145  pwsgrp  14161