Theorem prdsgrpd 14197

Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )

Assertion

Ref	Expression
prdsgrpd	|- ( ph -> Y e. Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd

Dummy variables b a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2239	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdsgrpd.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
4		prdsgrpd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
5		prdsgrpd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
6		prdsgrpd.r	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Grp )
7		grpmnd 13812	. . . . 5 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
8	7	ssriv 3252	. . . 4 |- Grp C_ Mnd
9		fss 5546	. . . 4 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
10	6, 8, 9	sylancl 417	. . 3 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
11	3, 4, 5, 10	prds0g 14195	. 2 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
12	3, 4, 5, 10	prdsmndd 14194	. 2 |- ( ph -> Y e. Mnd )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14		eqid 2238	. . . 4 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
15	5	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
16	15	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> S e. _V )
17	4	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> I e. _V )
19	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> R : I --> Grp )
20		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
21		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
22		eqid 2238	. . . 4 |- ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) = ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) )
23	3, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22	prdsinvlem 14196	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) ( +g ` Y ) a ) = ( 0g o. R ) ) )
24	23	simpld 112	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
25	23	simprd 114	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( b e. I |-> ( ( invg ` ( R ` b ) ) ` ( a ` b ) ) ) ( +g ` Y ) a ) = ( 0g o. R ) )
26	1, 2, 11, 12, 24, 25	isgrpd2 13826	1 |- ( ph -> Y e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4192   o. ccom 4778   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   X__scprds 14169

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-ixp 6981  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-hom 13455  df-cco 13456  df-rest 13595  df-topn 13596  df-0g 13612  df-topgen 13614  df-pt 13615  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-prds 14170

This theorem is used by:  prdsinvgd  14198  pwsgrp  14214