Theorem prdsgrpd 13608

Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsgrpd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsgrpd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgrpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
prdsgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)

Proof of Theorem prdsgrpd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2210	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2210	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdsgrpd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdsgrpd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsgrpd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdsgrpd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
7		grpmnd 13506	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3208	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
9		fss 5461	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prds0g 13448	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))
12	3, 4, 5, 10	prdsmndd 13447	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
15	5	elexd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	4	elexd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
19	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
20		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
21		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
22		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) = (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
23	3, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22	prdsinvlem 13607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))(+g‘𝑌)𝑎) = (0g ∘ 𝑅)))
24	23	simpld 112	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏))) ∈ (Base‘𝑌))
25	23	simprd 114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝑏 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))(+g‘𝑌)𝑎) = (0g ∘ 𝑅))
26	1, 2, 11, 12, 24, 25	isgrpd2 13520	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ⊆ wss 3177   ↦ cmpt 4124   ∘ ccom 4700  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  0_gc0g 13255  X_scprds 13264  Mndcmnd 13415  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503

This theorem is referenced by:  prdsinvgd  13609  pwsgrp  13610