Theorem prdsinvgd 14181

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )
prdsinvgd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsinvgd.n	|- N = ( invg ` Y )
prdsinvgd.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	|- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   ph, x   x, R   x, S   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   N( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
5	4	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
7	6	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Grp )
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
10		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
11		eqid 2238	. . . . 5 |- ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) )
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 14179	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B /\ ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) ) )
13	12	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) )
14		grpmnd 13795	. . . . . 6 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
15	14	ssriv 3252	. . . . 5 |- Grp C_ Mnd
16		fss 5544	. . . . 5 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
17	8, 15, 16	sylancl 417	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
18	1, 6, 4, 17	prds0g 14178	. . 3 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
19	13, 18	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) )
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 14180	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
21	12	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B )
22		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
23		prdsinvgd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` Y )
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 13841	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ X e. B /\ ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
26	19, 25	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   0gc0g 13593   Mndcmnd 13712   Grpcgrp 13788   invgcminusg 13789   X__scprds 14152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-map 6918  df-ixp 6975  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-prds 14153

This theorem is referenced by:  pwsinvg  14198