Theorem prdsinvgd 13629

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )
prdsinvgd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsinvgd.n	|- N = ( invg ` Y )
prdsinvgd.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	|- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   ph, x   x, R   x, S   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   N( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
5	4	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
7	6	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Grp )
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
10		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
11		eqid 2229	. . . . 5 |- ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) )
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 13627	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B /\ ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) ) )
13	12	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) )
14		grpmnd 13526	. . . . . 6 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
15	14	ssriv 3228	. . . . 5 |- Grp C_ Mnd
16		fss 5481	. . . . 5 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
17	8, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
18	1, 6, 4, 17	prds0g 13468	. . 3 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
19	13, 18	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) )
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 13628	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
21	12	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B )
22		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
23		prdsinvgd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` Y )
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 13572	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ X e. B /\ ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
26	19, 25	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   |-> cmpt 4144   o. ccom 4720   -->wf 5310   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   0gc0g 13275   X__scprds 13284   Mndcmnd 13435   Grpcgrp 13519   invgcminusg 13520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-map 6787  df-ixp 6836  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-fz 10193  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-hom 13120  df-cco 13121  df-rest 13260  df-topn 13261  df-0g 13277  df-topgen 13279  df-pt 13280  df-prds 13286  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523

This theorem is referenced by:  pwsinvg  13631