Theorem prdsinvgd 13754

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )
prdsinvgd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsinvgd.n	|- N = ( invg ` Y )
prdsinvgd.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	|- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   ph, x   x, R   x, S   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   N( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
5	4	elexd 2817	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
7	6	elexd 2817	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Grp )
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
11		eqid 2231	. . . . 5 |- ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) )
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 13752	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B /\ ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) ) )
13	12	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) )
14		grpmnd 13651	. . . . . 6 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
15	14	ssriv 3232	. . . . 5 |- Grp C_ Mnd
16		fss 5501	. . . . 5 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
17	8, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
18	1, 6, 4, 17	prds0g 13593	. . 3 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
19	13, 18	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) )
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 13753	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
21	12	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B )
22		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
23		prdsinvgd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` Y )
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 13697	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ X e. B /\ ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
26	19, 25	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   |-> cmpt 4155   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   0gc0g 13400   X__scprds 13409   Mndcmnd 13560   Grpcgrp 13644   invgcminusg 13645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-ixp 6911  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-hom 13245  df-cco 13246  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-prds 13411  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648

This theorem is referenced by:  pwsinvg  13756