Theorem prdsinvgd 13815

Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsgrpd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsgrpd.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsgrpd.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsgrpd.r	|- ( ph -> R : I --> Grp )
prdsinvgd.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsinvgd.n	|- N = ( invg ` Y )
prdsinvgd.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
prdsinvgd	|- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, I   ph, x   x, R   x, S   x, X   x, Y

Allowed substitution hints:   N( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsgrpd.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
2		prdsinvgd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
3		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
4		prdsgrpd.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
5	4	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ph -> S e. _V )
6		prdsgrpd.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. W )
7	6	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
8		prdsgrpd.r	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> Grp )
9		prdsinvgd.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
10		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 0g o. R ) = ( 0g o. R )
11		eqid 2232	. . . . 5 |- ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) )
12	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11	prdsinvlem 13813	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B /\ ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) ) )
13	12	simprd 114	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g o. R ) )
14		grpmnd 13712	. . . . . 6 |- ( a e. Grp -> a e. Mnd )
15	14	ssriv 3241	. . . . 5 |- Grp C_ Mnd
16		fss 5520	. . . . 5 |- ( ( R : I --> Grp /\ Grp C_ Mnd ) -> R : I --> Mnd )
17	8, 15, 16	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
18	1, 6, 4, 17	prds0g 13654	. . 3 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( 0g ` Y ) )
19	13, 18	eqtrd 2265	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) )
20	1, 6, 4, 8	prdsgrpd 13814	. . 3 |- ( ph -> Y e. Grp )
21	12	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B )
22		eqid 2232	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
23		prdsinvgd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` Y )
24	2, 3, 22, 23	grpinvid2 13758	. . 3 |- ( ( Y e. Grp /\ X e. B /\ ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
25	20, 9, 21, 24	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) <-> ( ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) ( +g ` Y ) X ) = ( 0g ` Y ) ) )
26	19, 25	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( N ` X ) = ( x e. I |-> ( ( invg ` ( R ` x ) ) ` ( X ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   C_ wss 3210   |-> cmpt 4170   o. ccom 4752   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   0gc0g 13461   X__scprds 13470   Mndcmnd 13621   Grpcgrp 13705   invgcminusg 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709

This theorem is referenced by:  pwsinvg  13817