Theorem prodfct 11898

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfct	|- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> j e. A )
2		nfcsb1v 3126	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3	2	nfel1 2359	. . . . . 6 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
4		csbeq1a 3102	. . . . . . 7 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
5	4	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
6	3, 5	rspc 2871	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
7	6	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
8		eqid 2205	. . . . 5 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	8	fvmpts 5657	. . . 4 |- ( ( j e. A /\ [_ j / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
11	10	prodeq2dv 11877	. 2 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B )
12		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ j B
13	12, 2, 4	cbvprodi 11871	. 2 |- prod_ k e. A B = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B
14	11, 13	eqtr4di 2256	1 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   [_csb 3093   |-> cmpt 4105   ` cfv 5271   CCcc 7923   prod_cprod 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-seqfrec 10593  df-proddc 11862

This theorem is referenced by:  fprodf1o  11899  prodssdc  11900  fprodssdc  11901  fprodmul  11902