ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodfct Unicode version

Theorem prodfct 11598
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodfct  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  prod_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
prod_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, j
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem prodfct
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
2 nfcsb1v 3092 . . . . . . 7  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
32nfel1 2330 . . . . . 6  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
4 csbeq1a 3068 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
54eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
63, 5rspc 2837 . . . . 5  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
76impcom 125 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
8 eqid 2177 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
98fvmpts 5597 . . . 4  |-  ( ( j  e.  A  /\  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  [_ j  /  k ]_ B
)
101, 7, 9syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  CC  /\  j  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ B
)
1110prodeq2dv 11577 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  prod_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
prod_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B )
12 nfcv 2319 . . 3  |-  F/_ j B
1312, 2, 4cbvprodi 11571 . 2  |-  prod_ k  e.  A  B  =  prod_ j  e.  A  [_ j  /  k ]_ B
1411, 13eqtr4di 2228 1  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  prod_ j  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 j )  = 
prod_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   [_csb 3059    |-> cmpt 4066   ` cfv 5218   CCcc 7812   prod_cprod 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-seqfrec 10449  df-proddc 11562
This theorem is referenced by:  fprodf1o  11599  prodssdc  11600  fprodssdc  11601  fprodmul  11602
  Copyright terms: Public domain W3C validator