Theorem prodfct 12277

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfct	|- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> j e. A )
2		nfcsb1v 3173	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3	2	nfel1 2397	. . . . . 6 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
4		csbeq1a 3149	. . . . . . 7 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
5	4	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
6	3, 5	rspc 2917	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
7	6	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
8		eqid 2234	. . . . 5 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	8	fvmpts 5757	. . . 4 |- ( ( j e. A /\ [_ j / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
11	10	prodeq2dv 12256	. 2 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B )
12		nfcv 2386	. . 3 |- F/_ j B
13	12, 2, 4	cbvprodi 12250	. 2 |- prod_ k e. A B = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B
14	11, 13	eqtr4di 2285	1 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3140   |-> cmpt 4173   ` cfv 5354   CCcc 8127   prod_cprod 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-seqfrec 10814  df-proddc 12241

This theorem is referenced by:  fprodf1o  12278  prodssdc  12279  fprodssdc  12280  fprodmul  12281