Theorem prodfct 11733

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfct	|- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem prodfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> j e. A )
2		nfcsb1v 3114	. . . . . . 7 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
3	2	nfel1 2347	. . . . . 6 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
4		csbeq1a 3090	. . . . . . 7 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
5	4	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
6	3, 5	rspc 2859	. . . . 5 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
7	6	impcom 125	. . . 4 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
8		eqid 2193	. . . . 5 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
9	8	fvmpts 5636	. . . 4 |- ( ( j e. A /\ [_ j / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A. k e. A B e. CC /\ j e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = [_ j / k ]_ B )
11	10	prodeq2dv 11712	. 2 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B )
12		nfcv 2336	. . 3 |- F/_ j B
13	12, 2, 4	cbvprodi 11706	. 2 |- prod_ k e. A B = prod_ j e. A [_ j / k ]_ B
14	11, 13	eqtr4di 2244	1 |- ( A. k e. A B e. CC -> prod_ j e. A ( ( k e. A |-> B ) ` j ) = prod_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [_csb 3081   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255   CCcc 7872   prod_cprod 11696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-seqfrec 10522  df-proddc 11697

This theorem is referenced by:  fprodf1o  11734  prodssdc  11735  fprodssdc  11736  fprodmul  11737