Theorem prsrcl 7786

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7556	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
4		opelxpi 4660	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	1, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P) ∈ P → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
6		enrex 7739	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 6592	. . 3 ⊢ (⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		df-nr 7729	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
10	8, 9	eleqtrrdi 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597   × cxp 4626  (class class class)co 5878  [cec 6536   / cqs 6537  Pcnp 7293  1_Pc1p 7294   +_P cpp 7295   ~_R cer 7298  Rcnr 7299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-enr 7728  df-nr 7729

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7797  caucvgsrlemoffcau  7800  recidpirq  7860  axcaucvglemcau  7900