Theorem prsrcl 7896

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7666	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
4		opelxpi 4706	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	1, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P) ∈ P → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
6		enrex 7849	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 6675	. . 3 ⊢ (⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		df-nr 7839	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
10	8, 9	eleqtrrdi 2298	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ⟨cop 3635   × cxp 4672  (class class class)co 5943  [cec 6617   / cqs 6618  Pcnp 7403  1_Pc1p 7404   +_P cpp 7405   ~_R cer 7408  Rcnr 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-lti 7419  df-plpq 7456  df-mpq 7457  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-mqqs 7462  df-1nqqs 7463  df-rq 7464  df-ltnqqs 7465  df-enq0 7536  df-nq0 7537  df-0nq0 7538  df-plq0 7539  df-mq0 7540  df-inp 7578  df-i1p 7579  df-iplp 7580  df-enr 7838  df-nr 7839

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7907  caucvgsrlemoffcau  7910  recidpirq  7970  axcaucvglemcau  8010