Theorem prsrcl 7526

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7310	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
3	1, 2	mpan2 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
4		opelxpi 4531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	1, 4	mpan2 419	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P) ∈ P → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
6		enrex 7480	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 6437	. . 3 ⊢ (⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		df-nr 7470	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
10	8, 9	syl6eleqr 2208	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1463  ⟨cop 3496   × cxp 4497  (class class class)co 5728  [cec 6381   / cqs 6382  Pcnp 7047  1_Pc1p 7048   +_P cpp 7049   ~_R cer 7052  Rcnr 7053

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-eprel 4171  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-1o 6267  df-2o 6268  df-oadd 6271  df-omul 6272  df-er 6383  df-ec 6385  df-qs 6389  df-ni 7060  df-pli 7061  df-mi 7062  df-lti 7063  df-plpq 7100  df-mpq 7101  df-enq 7103  df-nqqs 7104  df-plqqs 7105  df-mqqs 7106  df-1nqqs 7107  df-rq 7108  df-ltnqqs 7109  df-enq0 7180  df-nq0 7181  df-0nq0 7182  df-plq0 7183  df-mq0 7184  df-inp 7222  df-i1p 7223  df-iplp 7224  df-enr 7469  df-nr 7470

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7537  caucvgsrlemoffcau  7540  recidpirq  7593  axcaucvglemcau  7633