Theorem prsrcl 7687

Description: Mapping from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrcl	⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Proof of Theorem prsrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7457	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
4		opelxpi 4615	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	1, 4	mpan2 422	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P) ∈ P → ⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
6		enrex 7640	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 6527	. . 3 ⊢ (⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	3, 5, 7	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		df-nr 7630	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
10	8, 9	eleqtrrdi 2251	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128  ⟨cop 3563   × cxp 4581  (class class class)co 5818  [cec 6471   / cqs 6472  Pcnp 7194  1_Pc1p 7195   +_P cpp 7196   ~_R cer 7199  Rcnr 7200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4248  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-pli 7208  df-mi 7209  df-lti 7210  df-plpq 7247  df-mpq 7248  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-plqqs 7252  df-mqqs 7253  df-1nqqs 7254  df-rq 7255  df-ltnqqs 7256  df-enq0 7327  df-nq0 7328  df-0nq0 7329  df-plq0 7330  df-mq0 7331  df-inp 7369  df-i1p 7370  df-iplp 7371  df-enr 7629  df-nr 7630

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemgt1  7698  caucvgsrlemoffcau  7701  recidpirq  7761  axcaucvglemcau  7801