Theorem prsrriota 7855

Description: Mapping a restricted iota from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrriota	|- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem prsrriota

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srpospr 7850	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
2		reurex 2715	. . 3 |- ( E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A -> E. y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E. y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
5		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> y e. P. )
6		srpospr 7850	. . . . . . 7 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
7	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
8		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x +P. 1P ) = ( y +P. 1P ) )
9	8	opeq1d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x +P. 1P ) , 1P >. = <. ( y +P. 1P ) , 1P >. )
10	9	eceq1d 6628	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
11	10	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) )
12	11	riota2 5900	. . . . . 6 |- ( ( y e. P. /\ E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) -> ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y ) )
13	5, 7, 12	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y ) )
14	4, 13	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y )
15		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) = ( y +P. 1P ) )
16	15	opeq1d 3814	. . . . 5 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. = <. ( y +P. 1P ) , 1P >. )
17	16	eceq1d 6628	. . . 4 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
18	14, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
19	18, 4	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
20	3, 19	rexlimddv 2619	1 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   E!wreu 2477   <.cop 3625   class class class wbr 4033   iota_crio 5876  (class class class)co 5922   [cec 6590   P.cnp 7358   1Pc1p 7359   +P. cpp 7360   ~R cer 7363   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   <R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-ltr 7797  df-0r 7798

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7858  caucvgsrlemgt1  7862