Theorem prsrriota 7394

Description: Mapping a restricted iota from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrriota	|- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem prsrriota

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srpospr 7389	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
2		reurex 2581	. . 3 |- ( E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A -> E. y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E. y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
4		simprr 500	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
5		simprl 499	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> y e. P. )
6		srpospr 7389	. . . . . . 7 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
7	6	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
8		oveq1 5673	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x +P. 1P ) = ( y +P. 1P ) )
9	8	opeq1d 3634	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> <. ( x +P. 1P ) , 1P >. = <. ( y +P. 1P ) , 1P >. )
10	9	eceq1d 6342	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
11	10	eqeq1d 2097	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) )
12	11	riota2 5644	. . . . . 6 |- ( ( y e. P. /\ E! x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) -> ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y ) )
13	5, 7, 12	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A <-> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y ) )
14	4, 13	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y )
15		oveq1 5673	. . . . . 6 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) = ( y +P. 1P ) )
16	15	opeq1d 3634	. . . . 5 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. = <. ( y +P. 1P ) , 1P >. )
17	16	eceq1d 6342	. . . 4 |- ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) = y -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
18	14, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
19	18, 4	eqtrd 2121	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) /\ ( y e. P. /\ [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )
20	3, 19	rexlimddv 2494	1 |- ( ( A e. R. /\ 0R <R A ) -> [ <. ( ( iota_ x e. P. [ <. ( x +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   E.wrex 2361   E!wreu 2362   <.cop 3453   class class class wbr 3851   iota_crio 5621  (class class class)co 5666   [cec 6304   P.cnp 6911   1Pc1p 6912   +P. cpp 6913   ~R cer 6916   R.cnr 6917   0Rc0r 6918   <R cltr 6923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-iltp 7090  df-enr 7333  df-nr 7334  df-ltr 7337  df-0r 7338

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7397  caucvgsrlemgt1  7401