Theorem psrbagaddclfi 14984

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	|- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9577	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
3		psrbag.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4	3	psrbagf 14977	. . . . 5 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> NN0 )
6	3	psrbagf 14977	. . . . 5 |- ( G e. D -> G : I --> NN0 )
7	6	3ad2ant2 1050	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> G : I --> NN0 )
8		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> I e. Fin )
9		inidm 3440	. . . 4 |- ( I i^i I ) = I
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6305	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) : I --> NN0 )
11		nn0ex 9548	. . . . 5 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6925	. . . . 5 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
13	11, 12	mpan 428	. . . 4 |- ( I e. Fin -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
14	13	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
15	10, 14	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) )
16	3	psrbagfi 14982	. . 3 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
17	16	3ad2ant3 1051	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
18	15, 17	eleqtrrd 2318	1 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   `'ccnv 4768   "cima 4772   -->wf 5368  (class class class)co 6075   oFcof 6290   ^m cmap 6912   Fincfn 7012   + caddc 8172   NNcn 9283   NN0cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1o 6677  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by: (None)