Theorem psrbagaddclfi 15044

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	|- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9581	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
3		psrbag.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4	3	psrbagf 15037	. . . . 5 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> NN0 )
6	3	psrbagf 15037	. . . . 5 |- ( G e. D -> G : I --> NN0 )
7	6	3ad2ant2 1050	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> G : I --> NN0 )
8		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> I e. Fin )
9		inidm 3440	. . . 4 |- ( I i^i I ) = I
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6309	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) : I --> NN0 )
11		nn0ex 9552	. . . . 5 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6929	. . . . 5 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
13	11, 12	mpan 428	. . . 4 |- ( I e. Fin -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
14	13	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
15	10, 14	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) )
16	3	psrbagfi 15042	. . 3 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
17	16	3ad2ant3 1051	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
18	15, 17	eleqtrrd 2318	1 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   `'ccnv 4771   "cima 4775   -->wf 5371  (class class class)co 6079   oFcof 6294   ^m cmap 6916   Fincfn 7016   + caddc 8176   NNcn 9287   NN0cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by: (None)