Theorem psrbagaddclfi 14812

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	|- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9527	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
3		psrbag.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4	3	psrbagf 14805	. . . . 5 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
5	4	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> NN0 )
6	3	psrbagf 14805	. . . . 5 |- ( G e. D -> G : I --> NN0 )
7	6	3ad2ant2 1046	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> G : I --> NN0 )
8		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> I e. Fin )
9		inidm 3429	. . . 4 |- ( I i^i I ) = I
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6278	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) : I --> NN0 )
11		nn0ex 9498	. . . . 5 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6894	. . . . 5 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 |- ( I e. Fin -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
14	13	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
15	10, 14	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) )
16	3	psrbagfi 14810	. . 3 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
17	16	3ad2ant3 1047	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
18	15, 17	eleqtrrd 2312	1 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2812   `'ccnv 4747   "cima 4751   -->wf 5347  (class class class)co 6049   oFcof 6263   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   + caddc 8126   NNcn 9233   NN0cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850

This theorem is referenced by: (None)