Theorem psrbagaddclfi 14842

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	|- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9533	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( m + n ) e. NN0 )
2	1	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) /\ ( m e. NN0 /\ n e. NN0 ) ) -> ( m + n ) e. NN0 )
3		psrbag.d	. . . . . 6 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4	3	psrbagf 14835	. . . . 5 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
5	4	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> F : I --> NN0 )
6	3	psrbagf 14835	. . . . 5 |- ( G e. D -> G : I --> NN0 )
7	6	3ad2ant2 1046	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> G : I --> NN0 )
8		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> I e. Fin )
9		inidm 3432	. . . 4 |- ( I i^i I ) = I
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6281	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) : I --> NN0 )
11		nn0ex 9504	. . . . 5 |- NN0 e. _V
12		elmapg 6897	. . . . 5 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 |- ( I e. Fin -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
14	13	3ad2ant3 1047	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( F oF + G ) : I --> NN0 ) )
15	10, 14	mpbird 167	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. ( NN0 ^m I ) )
16	3	psrbagfi 14840	. . 3 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )
17	16	3ad2ant3 1047	. 2 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> D = ( NN0 ^m I ) )
18	15, 17	eleqtrrd 2314	1 |- ( ( F e. D /\ G e. D /\ I e. Fin ) -> ( F oF + G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   `'ccnv 4750   "cima 4754   -->wf 5350  (class class class)co 6052   oFcof 6266   ^m cmap 6884   Fincfn 6977   + caddc 8132   NNcn 9239   NN0cn0 9498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by: (None)