Theorem psrbagaddclfi 14842

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9533	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3		psrbag.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagf 14835	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	3	psrbagf 14835	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
9		inidm 3432	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6281	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
11		nn0ex 9504	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
12		elmapg 6897	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
14	13	3ad2ant3 1047	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
16	3	psrbagfi 14840	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1047	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	15, 17	eleqtrrd 2314	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052   ∘_𝑓 cof 6266   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977   + caddc 8132  ℕcn 9239  ℕ₀cn0 9498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by: (None)