Theorem psrbagaddclfi 15178

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.) (Revised by Jim Kingdodn, 6-Nov-2026.)

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9610	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3		elmapi 6949	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
4	3	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5		elmapi 6949	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
6	5	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
8		inidm 3440	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
9	2, 4, 6, 7, 7, 8	off 6319	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
10		nn0ex 9581	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11		elmapg 6940	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
12	10, 11	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
13	12	3ad2ant3 1051	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
14	9, 13	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   + caddc 8189  ℕ₀cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0id 8294

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-map 6929  df-inn 9315  df-n0 9576

This theorem is used by:  psrbagleadd1fi  15179