Theorem psrbagaddclfi 15044

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) Shorten proof and remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddclfi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddclfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9581	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0)
3		psrbag.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagf 15037	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐷 → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
6	3	psrbagf 15037	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐷 → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
8		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
9		inidm 3440	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
10	2, 5, 7, 8, 8, 9	off 6309	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
11		nn0ex 9552	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
12		elmapg 6929	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
13	11, 12	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
14	13	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
16	3	psrbagfi 15042	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
17	16	3ad2ant3 1051	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
18	15, 17	eleqtrrd 2318	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775  ⟶wf 5371  (class class class)co 6079   ∘_𝑓 cof 6294   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016   + caddc 8176  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by: (None)