Theorem psrbaglecl 14986

Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglecl	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbaglecl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1029	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
2		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
3		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
4		psrbag.d	. . . . . . . . . 10 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	4	psrbagf 14980	. . . . . . . . 9 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
6	5	ffnd 5532	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
7	3, 6	fndmexd 5579	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
9	4	psrbag 14979	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
11	2, 10	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
12	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
13	4	psrbaglesupp 14984	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
14	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> G : I --> NN0 )
15	5	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
16		ffn 5531	. . . . . . . . . 10 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
17		elpreima 5822	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn I -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
19	18	simprbda 383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> x e. I )
20	14, 19	ffvelcdmd 5838	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
21	20	nn0zd 9748	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
22		elnndc 9994	. . . . . 6 |- ( ( G ` x ) e. ZZ -> DECID ( G ` x ) e. NN )
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( G ` x ) e. NN )
24		ffn 5531	. . . . . . . . 9 |- ( G : I --> NN0 -> G Fn I )
25		elpreima 5822	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn I -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
26	1, 24, 25	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
28	19, 27	mpbirand 445	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( G ` x ) e. NN ) )
29	28	dcbid 850	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID x e. ( `' G " NN ) <-> DECID ( G ` x ) e. NN ) )
30	23, 29	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID x e. ( `' G " NN ) )
31	30	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) )
32		ssfidc 7238	. . 3 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
33	12, 13, 31, 32	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
34	4	psrbag 14979	. . 3 |- ( I e. _V -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
35	8, 34	syl 14	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
36	1, 33, 35	mpbir2and 957	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4128   `'ccnv 4771   "cima 4775   Fn wfn 5370   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   oRcofr 6294   ^m cmap 6915   Fincfn 7015   <_ cle 8354   NNcn 9286   NN0cn0 9545   ZZcz 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-ofr 6296  df-1o 6680  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904

This theorem is referenced by: (None)