Theorem psrbaglecl 14950

Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglecl	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbaglecl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
2		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
3		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
4		psrbag.d	. . . . . . . . . 10 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	4	psrbagf 14944	. . . . . . . . 9 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
6	5	ffnd 5514	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
7	3, 6	fndmexd 5561	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
8	7	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
9	4	psrbag 14943	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
11	2, 10	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
12	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
13	4	psrbaglesupp 14948	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
14	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> G : I --> NN0 )
15	5	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
16		ffn 5513	. . . . . . . . . 10 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
17		elpreima 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn I -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
19	18	simprbda 383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> x e. I )
20	14, 19	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
21	20	nn0zd 9716	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
22		elnndc 9962	. . . . . 6 |- ( ( G ` x ) e. ZZ -> DECID ( G ` x ) e. NN )
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( G ` x ) e. NN )
24		ffn 5513	. . . . . . . . 9 |- ( G : I --> NN0 -> G Fn I )
25		elpreima 5802	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn I -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
26	1, 24, 25	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
28	19, 27	mpbirand 441	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( G ` x ) e. NN ) )
29	28	dcbid 846	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID x e. ( `' G " NN ) <-> DECID ( G ` x ) e. NN ) )
30	23, 29	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID x e. ( `' G " NN ) )
31	30	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) )
32		ssfidc 7211	. . 3 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
33	12, 13, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
34	4	psrbag 14943	. . 3 |- ( I e. _V -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
35	8, 34	syl 14	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
36	1, 33, 35	mpbir2and 953	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   "cima 4757   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   oRcofr 6274   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-ofr 6276  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by: (None)