Theorem psrbaglecl 14841

Description: The set of finite bags is downward-closed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglecl	|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, I   f, G

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbaglecl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 )
2		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D )
3		id 19	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F e. D )
4		psrbag.d	. . . . . . . . . 10 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	4	psrbagf 14835	. . . . . . . . 9 |- ( F e. D -> F : I --> NN0 )
6	5	ffnd 5511	. . . . . . . 8 |- ( F e. D -> F Fn I )
7	3, 6	fndmexd 5558	. . . . . . 7 |- ( F e. D -> I e. _V )
8	7	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> I e. _V )
9	4	psrbag 14834	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
11	2, 10	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
12	11	simprd 114	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
13	4	psrbaglesupp 14839	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) )
14	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> G : I --> NN0 )
15	5	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 )
16		ffn 5510	. . . . . . . . . 10 |- ( F : I --> NN0 -> F Fn I )
17		elpreima 5799	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn I -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' F " NN ) <-> ( x e. I /\ ( F ` x ) e. NN ) ) )
19	18	simprbda 383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> x e. I )
20	14, 19	ffvelcdmd 5815	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. NN0 )
21	20	nn0zd 9701	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
22		elnndc 9947	. . . . . 6 |- ( ( G ` x ) e. ZZ -> DECID ( G ` x ) e. NN )
23	21, 22	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID ( G ` x ) e. NN )
24		ffn 5510	. . . . . . . . 9 |- ( G : I --> NN0 -> G Fn I )
25		elpreima 5799	. . . . . . . . 9 |- ( G Fn I -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
26	1, 24, 25	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( x e. I /\ ( G ` x ) e. NN ) ) )
28	19, 27	mpbirand 441	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> ( x e. ( `' G " NN ) <-> ( G ` x ) e. NN ) )
29	28	dcbid 846	. . . . 5 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> (DECID x e. ( `' G " NN ) <-> DECID ( G ` x ) e. NN ) )
30	23, 29	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( `' F " NN ) ) -> DECID x e. ( `' G " NN ) )
31	30	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) )
32		ssfidc 7200	. . 3 |- ( ( ( `' F " NN ) e. Fin /\ ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) /\ A. x e. ( `' F " NN )DECID x e. ( `' G " NN ) ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
33	12, 13, 31, 32	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
34	4	psrbag 14834	. . 3 |- ( I e. _V -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
35	8, 34	syl 14	. 2 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
36	1, 33, 35	mpbir2and 953	1 |- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   `'ccnv 4750   "cima 4754   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   oRcofr 6267   ^m cmap 6884   Fincfn 6977   <_ cle 8311   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-ofr 6269  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by: (None)