Theorem rehalfcld 9232

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	|- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rehalfcl 9212	. 2 |- ( A e. RR -> ( A / 2 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   RRcr 7873   / cdiv 8693   2c2 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  9239  fldiv4p1lem1div2  10377  fldiv4lem1div2uz2  10378  facavg  10820  recl  11000  crre  11004  cvg1nlemres  11132  recvguniqlem  11141  resqrexlemp1rp  11153  resqrexlemfp1  11156  maxabslemlub  11354  maxabslemval  11355  maxcl  11357  resin4p  11864  recos4p  11865  cos01bnd  11904  cos12dec  11914  nno  12050  4sqlem5  12523  4sqlem6  12524  4sqlem10  12528  4sqlem15  12546  4sqlem16  12547  blhalf  14587  ioo2bl  14730  ioo2blex  14731  maxcncf  14794  mincncf  14795  cosordlem  15025  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem2  15219  gausslemma2dlem3  15220  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  2lgslem1a2  15244  2lgslem1c  15247  2sqlem8  15280  apdifflemf  15606