Theorem lttrd 8283

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8231	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   < clt 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-lttrn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10481  rebtwn2z  10486  qbtwnrelemcalc  10487  expgt1  10811  ltexp2a  10825  expnlbnd2  10899  nn0ltexp2  10943  expcanlem  10949  expcan  10950  cvg1nlemcxze  11509  cvg1nlemcau  11511  cvg1nlemres  11512  recvguniqlem  11521  resqrexlemdecn  11539  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemga  11550  qdenre  11729  reccn2ap  11840  georeclim  12040  geoisumr  12045  cvgratz  12059  efcllemp  12185  efgt1  12224  cos12dec  12295  dvdslelemd  12370  pythagtriplem13  12815  fldivp1  12887  4sqlem12  12941  nninfdclemlt  13038  ivthinclemlr  15327  ivthinclemur  15329  hovera  15337  ivthdichlem  15341  limcimolemlt  15354  reeff1olem  15461  sin0pilem1  15471  pilem3  15473  coseq0negpitopi  15526  tangtx  15528  cos02pilt1  15541  rplogcl  15569  cxplt  15606  cxple  15607  ltexp2  15631  mersenne  15687  lgsquadlem2  15773  cvgcmp2nlemabs  16488  trilpolemlt1  16497  apdifflemf  16502