Theorem lttrd 8272

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8220	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10469  rebtwn2z  10474  qbtwnrelemcalc  10475  expgt1  10799  ltexp2a  10813  expnlbnd2  10887  nn0ltexp2  10931  expcanlem  10937  expcan  10938  cvg1nlemcxze  11493  cvg1nlemcau  11495  cvg1nlemres  11496  recvguniqlem  11505  resqrexlemdecn  11523  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemga  11534  qdenre  11713  reccn2ap  11824  georeclim  12024  geoisumr  12029  cvgratz  12043  efcllemp  12169  efgt1  12208  cos12dec  12279  dvdslelemd  12354  pythagtriplem13  12799  fldivp1  12871  4sqlem12  12925  nninfdclemlt  13022  ivthinclemlr  15311  ivthinclemur  15313  hovera  15321  ivthdichlem  15325  limcimolemlt  15338  reeff1olem  15445  sin0pilem1  15455  pilem3  15457  coseq0negpitopi  15510  tangtx  15512  cos02pilt1  15525  rplogcl  15553  cxplt  15590  cxple  15591  ltexp2  15615  mersenne  15671  lgsquadlem2  15757  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409  apdifflemf  16414