Theorem lttrd 8305

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8253	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8031   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-lttrn 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10510  rebtwn2z  10515  qbtwnrelemcalc  10516  expgt1  10840  ltexp2a  10854  expnlbnd2  10928  nn0ltexp2  10972  expcanlem  10978  expcan  10979  cvg1nlemcxze  11560  cvg1nlemcau  11562  cvg1nlemres  11563  recvguniqlem  11572  resqrexlemdecn  11590  resqrexlemcvg  11597  resqrexlemga  11601  qdenre  11780  reccn2ap  11891  georeclim  12092  geoisumr  12097  cvgratz  12111  efcllemp  12237  efgt1  12276  cos12dec  12347  dvdslelemd  12422  pythagtriplem13  12867  fldivp1  12939  4sqlem12  12993  nninfdclemlt  13090  ivthinclemlr  15380  ivthinclemur  15382  hovera  15390  ivthdichlem  15394  limcimolemlt  15407  reeff1olem  15514  sin0pilem1  15524  pilem3  15526  coseq0negpitopi  15579  tangtx  15581  cos02pilt1  15594  rplogcl  15622  cxplt  15659  cxple  15660  ltexp2  15684  mersenne  15740  lgsquadlem2  15826  cvgcmp2nlemabs  16687  trilpolemlt1  16696  apdifflemf  16701