ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttrd Unicode version

Theorem lttrd 7900
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 lttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lttr 7850 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1216 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 429 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7631    < clt 7812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-lttrn 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10039  rebtwn2z  10044  qbtwnrelemcalc  10045  expgt1  10343  ltexp2a  10357  expnlbnd2  10429  expcanlem  10474  expcan  10475  cvg1nlemcxze  10766  cvg1nlemcau  10768  cvg1nlemres  10769  recvguniqlem  10778  resqrexlemdecn  10796  resqrexlemcvg  10803  resqrexlemga  10807  qdenre  10986  reccn2ap  11094  georeclim  11294  geoisumr  11299  cvgratz  11313  efcllemp  11376  efgt1  11415  cos12dec  11485  dvdslelemd  11552  ivthinclemlr  12798  ivthinclemur  12800  limcimolemlt  12816  reeff1olem  12875  sin0pilem1  12884  pilem3  12886  coseq0negpitopi  12939  tangtx  12941  cos02pilt1  12954  rplogcl  12979  cxplt  13015  cxple  13016  cvgcmp2nlemabs  13313  trilpolemlt1  13320  apdifflemf  13325
  Copyright terms: Public domain W3C validator