Theorem lttrd 8459

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8405	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  exbtwnzlemex  10701  rebtwn2z  10706  qbtwnrelemcalc  10707  flaplt  10739  expgt1  11035  ltexp2a  11049  expnlbnd2  11124  nn0ltexp2  11169  expcanlem  11175  expcan  11176  ssenneg  11302  cvg1nlemcxze  11770  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  recvguniqlem  11782  resqrexlemdecn  11800  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemga  11811  qdenre  11991  reccn2ap  12104  georeclim  12305  geoisumr  12310  cvgratz  12324  efcllemp  12450  efgt1  12489  cos12dec  12560  dvdslelemd  12635  pythagtriplem13  13084  fldivp1  13156  4sqlem12  13210  nninfdclemlt  13400  ivthinclemlr  15863  ivthinclemur  15865  hovera  15873  ivthdichlem  15877  limcimolemlt  15890  reeff1olem  15997  sin0pilem1  16008  pilem3  16010  coseq0negpitopi  16063  tangtx  16065  cos02pilt1  16079  rplogcl  16109  logdivlt  16124  cxplt  16151  cxple  16152  ltexp2  16177  mersenne  16297  bposlem2  16312  bposlem6  16316  bposlem9  16319  lgsquadlem2  16402  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemlt1  17297  apdifflemf  17302