Theorem lttrd 8169

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8117	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7895   < clt 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-lttrn 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10356  rebtwn2z  10361  qbtwnrelemcalc  10362  expgt1  10686  ltexp2a  10700  expnlbnd2  10774  nn0ltexp2  10818  expcanlem  10824  expcan  10825  cvg1nlemcxze  11164  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  recvguniqlem  11176  resqrexlemdecn  11194  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemga  11205  qdenre  11384  reccn2ap  11495  georeclim  11695  geoisumr  11700  cvgratz  11714  efcllemp  11840  efgt1  11879  cos12dec  11950  dvdslelemd  12025  pythagtriplem13  12470  fldivp1  12542  4sqlem12  12596  nninfdclemlt  12693  ivthinclemlr  14957  ivthinclemur  14959  hovera  14967  ivthdichlem  14971  limcimolemlt  14984  reeff1olem  15091  sin0pilem1  15101  pilem3  15103  coseq0negpitopi  15156  tangtx  15158  cos02pilt1  15171  rplogcl  15199  cxplt  15236  cxple  15237  ltexp2  15261  mersenne  15317  lgsquadlem2  15403  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772  apdifflemf  15777