Theorem lttrd 8233

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8181	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10429  rebtwn2z  10434  qbtwnrelemcalc  10435  expgt1  10759  ltexp2a  10773  expnlbnd2  10847  nn0ltexp2  10891  expcanlem  10897  expcan  10898  cvg1nlemcxze  11408  cvg1nlemcau  11410  cvg1nlemres  11411  recvguniqlem  11420  resqrexlemdecn  11438  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemga  11449  qdenre  11628  reccn2ap  11739  georeclim  11939  geoisumr  11944  cvgratz  11958  efcllemp  12084  efgt1  12123  cos12dec  12194  dvdslelemd  12269  pythagtriplem13  12714  fldivp1  12786  4sqlem12  12840  nninfdclemlt  12937  ivthinclemlr  15224  ivthinclemur  15226  hovera  15234  ivthdichlem  15238  limcimolemlt  15251  reeff1olem  15358  sin0pilem1  15368  pilem3  15370  coseq0negpitopi  15423  tangtx  15425  cos02pilt1  15438  rplogcl  15466  cxplt  15503  cxple  15504  ltexp2  15528  mersenne  15584  lgsquadlem2  15670  cvgcmp2nlemabs  16173  trilpolemlt1  16182  apdifflemf  16187