Theorem lttrd 8416

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8363	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10636  rebtwn2z  10641  qbtwnrelemcalc  10642  expgt1  10966  ltexp2a  10980  expnlbnd2  11055  nn0ltexp2  11099  expcanlem  11105  expcan  11106  ssenneg  11232  cvg1nlemcxze  11696  cvg1nlemcau  11698  cvg1nlemres  11699  recvguniqlem  11708  resqrexlemdecn  11726  resqrexlemcvg  11733  resqrexlemga  11737  qdenre  11916  reccn2ap  12027  georeclim  12228  geoisumr  12233  cvgratz  12247  efcllemp  12373  efgt1  12412  cos12dec  12483  dvdslelemd  12558  pythagtriplem13  13003  fldivp1  13075  4sqlem12  13129  nninfdclemlt  13290  ivthinclemlr  15632  ivthinclemur  15634  hovera  15642  ivthdichlem  15646  limcimolemlt  15659  reeff1olem  15766  sin0pilem1  15776  pilem3  15778  coseq0negpitopi  15831  tangtx  15833  cos02pilt1  15846  rplogcl  15874  cxplt  15911  cxple  15912  ltexp2  15936  mersenne  15995  lgsquadlem2  16081  cvgcmp2nlemabs  16956  trilpolemlt1  16965  apdifflemf  16970