Theorem lttrd 8057

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8005	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   RRcr 7785   < clt 7966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-pre-lttrn 7900

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10220  rebtwn2z  10225  qbtwnrelemcalc  10226  expgt1  10528  ltexp2a  10542  expnlbnd2  10615  nn0ltexp2  10658  expcanlem  10663  expcan  10664  cvg1nlemcxze  10959  cvg1nlemcau  10961  cvg1nlemres  10962  recvguniqlem  10971  resqrexlemdecn  10989  resqrexlemcvg  10996  resqrexlemga  11000  qdenre  11179  reccn2ap  11289  georeclim  11489  geoisumr  11494  cvgratz  11508  efcllemp  11634  efgt1  11673  cos12dec  11743  dvdslelemd  11816  pythagtriplem13  12243  fldivp1  12313  nninfdclemlt  12419  ivthinclemlr  13686  ivthinclemur  13688  limcimolemlt  13704  reeff1olem  13763  sin0pilem1  13773  pilem3  13775  coseq0negpitopi  13828  tangtx  13830  cos02pilt1  13843  rplogcl  13871  cxplt  13907  cxple  13908  ltexp2  13931  cvgcmp2nlemabs  14341  trilpolemlt1  14350  apdifflemf  14355