Theorem lttrd 8152

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8100	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10339  rebtwn2z  10344  qbtwnrelemcalc  10345  expgt1  10669  ltexp2a  10683  expnlbnd2  10757  nn0ltexp2  10801  expcanlem  10807  expcan  10808  cvg1nlemcxze  11147  cvg1nlemcau  11149  cvg1nlemres  11150  recvguniqlem  11159  resqrexlemdecn  11177  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemga  11188  qdenre  11367  reccn2ap  11478  georeclim  11678  geoisumr  11683  cvgratz  11697  efcllemp  11823  efgt1  11862  cos12dec  11933  dvdslelemd  12008  pythagtriplem13  12445  fldivp1  12517  4sqlem12  12571  nninfdclemlt  12668  ivthinclemlr  14873  ivthinclemur  14875  hovera  14883  ivthdichlem  14887  limcimolemlt  14900  reeff1olem  15007  sin0pilem1  15017  pilem3  15019  coseq0negpitopi  15072  tangtx  15074  cos02pilt1  15087  rplogcl  15115  cxplt  15152  cxple  15153  ltexp2  15177  mersenne  15233  lgsquadlem2  15319  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemlt1  15685  apdifflemf  15690