Theorem lttrd 8198

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8146	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10392  rebtwn2z  10397  qbtwnrelemcalc  10398  expgt1  10722  ltexp2a  10736  expnlbnd2  10810  nn0ltexp2  10854  expcanlem  10860  expcan  10861  cvg1nlemcxze  11293  cvg1nlemcau  11295  cvg1nlemres  11296  recvguniqlem  11305  resqrexlemdecn  11323  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemga  11334  qdenre  11513  reccn2ap  11624  georeclim  11824  geoisumr  11829  cvgratz  11843  efcllemp  11969  efgt1  12008  cos12dec  12079  dvdslelemd  12154  pythagtriplem13  12599  fldivp1  12671  4sqlem12  12725  nninfdclemlt  12822  ivthinclemlr  15109  ivthinclemur  15111  hovera  15119  ivthdichlem  15123  limcimolemlt  15136  reeff1olem  15243  sin0pilem1  15253  pilem3  15255  coseq0negpitopi  15308  tangtx  15310  cos02pilt1  15323  rplogcl  15351  cxplt  15388  cxple  15389  ltexp2  15413  mersenne  15469  lgsquadlem2  15555  cvgcmp2nlemabs  15971  trilpolemlt1  15980  apdifflemf  15985