Theorem lttrd 8364

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8312	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-lttrn 8206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10572  rebtwn2z  10577  qbtwnrelemcalc  10578  expgt1  10902  ltexp2a  10916  expnlbnd2  10990  nn0ltexp2  11034  expcanlem  11040  expcan  11041  cvg1nlemcxze  11622  cvg1nlemcau  11624  cvg1nlemres  11625  recvguniqlem  11634  resqrexlemdecn  11652  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemga  11663  qdenre  11842  reccn2ap  11953  georeclim  12154  geoisumr  12159  cvgratz  12173  efcllemp  12299  efgt1  12338  cos12dec  12409  dvdslelemd  12484  pythagtriplem13  12929  fldivp1  13001  4sqlem12  13055  nninfdclemlt  13152  ivthinclemlr  15448  ivthinclemur  15450  hovera  15458  ivthdichlem  15462  limcimolemlt  15475  reeff1olem  15582  sin0pilem1  15592  pilem3  15594  coseq0negpitopi  15647  tangtx  15649  cos02pilt1  15662  rplogcl  15690  cxplt  15727  cxple  15728  ltexp2  15752  mersenne  15811  lgsquadlem2  15897  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemlt1  16773  apdifflemf  16778