Theorem lttrd 7912

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 7862	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-lttrn 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10058  rebtwn2z  10063  qbtwnrelemcalc  10064  expgt1  10362  ltexp2a  10376  expnlbnd2  10448  expcanlem  10493  expcan  10494  cvg1nlemcxze  10786  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  recvguniqlem  10798  resqrexlemdecn  10816  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemga  10827  qdenre  11006  reccn2ap  11114  georeclim  11314  geoisumr  11319  cvgratz  11333  efcllemp  11401  efgt1  11440  cos12dec  11510  dvdslelemd  11577  ivthinclemlr  12823  ivthinclemur  12825  limcimolemlt  12841  reeff1olem  12900  sin0pilem1  12910  pilem3  12912  coseq0negpitopi  12965  tangtx  12967  cos02pilt1  12980  rplogcl  13008  cxplt  13044  cxple  13045  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemlt1  13409  apdifflemf  13414