Theorem lttrd 8452

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 8399	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  exbtwnzlemex  10684  rebtwn2z  10689  qbtwnrelemcalc  10690  expgt1  11014  ltexp2a  11028  expnlbnd2  11103  nn0ltexp2  11147  expcanlem  11153  expcan  11154  ssenneg  11280  cvg1nlemcxze  11748  cvg1nlemcau  11750  cvg1nlemres  11751  recvguniqlem  11760  resqrexlemdecn  11778  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemga  11789  qdenre  11968  reccn2ap  12079  georeclim  12280  geoisumr  12285  cvgratz  12299  efcllemp  12425  efgt1  12464  cos12dec  12535  dvdslelemd  12610  pythagtriplem13  13055  fldivp1  13127  4sqlem12  13181  nninfdclemlt  13342  ivthinclemlr  15738  ivthinclemur  15740  hovera  15748  ivthdichlem  15752  limcimolemlt  15765  reeff1olem  15872  sin0pilem1  15882  pilem3  15884  coseq0negpitopi  15937  tangtx  15939  cos02pilt1  15952  rplogcl  15980  cxplt  16018  cxple  16019  ltexp2  16043  mersenne  16111  lgsquadlem2  16197  cvgcmp2nlemabs  17081  trilpolemlt1  17090  apdifflemf  17095