Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniqlem GIF version

Theorem recvguniqlem 10876
 Description: Lemma for recvguniq 10877. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniqlem.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
Assertion
Ref Expression
recvguniqlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem
StepHypRef Expression
1 recvguniqlem.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 recvguniqlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 recvguniqlem.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
42, 3ffvelrnd 5600 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
5 recvguniqlem.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 8239 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 9062 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7890 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9 recvguniqlem.lt1 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
105, 7readdcld 7890 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11 recvguniqlem.lt2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
124, 10, 7, 11ltadd1dd 8414 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)))
135recnd 7889 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
147recnd 7889 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1513, 14, 14addassd 7883 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))))
166recnd 7889 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
17162halvesd 9061 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐴𝐵))
1817oveq2d 5834 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
191recnd 7889 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2013, 19pncan3d 8172 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2115, 18, 203eqtrd 2194 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2212, 21breqtrd 3990 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < 𝐴)
231, 8, 1, 9, 22lttrd 7984 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐴)
241ltnrd 7971 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2523, 24pm2.21fal 1355 1 (𝜑 → ⊥)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1340   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℝcr 7714   + caddc 7718   < clt 7895   − cmin 8029   / cdiv 8528  ℕcn 8816  2c2 8867 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-2 8875 This theorem is referenced by:  recvguniq  10877
 Copyright terms: Public domain W3C validator