ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniqlem GIF version

Theorem recvguniqlem 10268
Description: Lemma for recvguniq 10269. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniqlem.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
Assertion
Ref Expression
recvguniqlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem
StepHypRef Expression
1 recvguniqlem.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 recvguniqlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 recvguniqlem.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
42, 3ffvelrnd 5383 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
5 recvguniqlem.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 7780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 8572 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7438 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9 recvguniqlem.lt1 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
105, 7readdcld 7438 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11 recvguniqlem.lt2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
124, 10, 7, 11ltadd1dd 7951 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)))
135recnd 7437 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
147recnd 7437 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1513, 14, 14addassd 7431 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))))
166recnd 7437 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
17162halvesd 8571 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐴𝐵))
1817oveq2d 5610 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
191recnd 7437 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2013, 19pncan3d 7717 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2115, 18, 203eqtrd 2121 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2212, 21breqtrd 3838 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < 𝐴)
231, 8, 1, 9, 22lttrd 7530 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐴)
241ltnrd 7517 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2523, 24pm2.21fal 1307 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1292  wcel 1436   class class class wbr 3814  wf 4968  cfv 4972  (class class class)co 5594  cr 7270   + caddc 7274   < clt 7443  cmin 7574   / cdiv 8055  cn 8334  2c2 8384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-2 8393
This theorem is referenced by:  recvguniq  10269
  Copyright terms: Public domain W3C validator