Theorem recvguniqlem 11776

Description: Lemma for recvguniq 11777. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	2, 3	ffvelcdmd 5844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 8710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 8356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
10	5, 7	readdcld 8356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	5	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	7	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
15	13, 14, 14	addassd 8349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))))
16	6	recnd 8355	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 9556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
19	1	recnd 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	13, 19	pncan3d 8642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
21	15, 18, 20	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
22	12, 21	breqtrd 4156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < 𝐴)
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8454	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐴)
24	1	ltnrd 8439	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
25	23, 24	pm2.21fal 1422	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179   + caddc 8183   < clt 8361   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-2 9366

This theorem is used by:  recvguniq  11777