Theorem recvguniqlem 11520

Description: Lemma for recvguniq 11521. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	2, 3	ffvelcdmd 5773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 8538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 8187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
10	5, 7	readdcld 8187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	5	recnd 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	7	recnd 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
15	13, 14, 14	addassd 8180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))))
16	6	recnd 8186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 9368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	oveq2d 6023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
19	1	recnd 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	13, 19	pncan3d 8471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
21	15, 18, 20	3eqtrd 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
22	12, 21	breqtrd 4109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < 𝐴)
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐴)
24	1	ltnrd 8269	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
25	23, 24	pm2.21fal 1415	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1400   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8009   + caddc 8013   < clt 8192   − cmin 8328   / cdiv 8830  ℕcn 9121  2c2 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180

This theorem is referenced by:  recvguniq  11521