ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniqlem GIF version

Theorem recvguniqlem 10998
Description: Lemma for recvguniq 10999. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniqlem.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
Assertion
Ref Expression
recvguniqlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem
StepHypRef Expression
1 recvguniqlem.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 recvguniqlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 recvguniqlem.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
42, 3ffvelcdmd 5652 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
5 recvguniqlem.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 8336 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 9163 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7985 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9 recvguniqlem.lt1 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
105, 7readdcld 7985 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11 recvguniqlem.lt2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
124, 10, 7, 11ltadd1dd 8511 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)))
135recnd 7984 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
147recnd 7984 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1513, 14, 14addassd 7978 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))))
166recnd 7984 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
17162halvesd 9162 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐴𝐵))
1817oveq2d 5890 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
191recnd 7984 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2013, 19pncan3d 8269 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2115, 18, 203eqtrd 2214 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2212, 21breqtrd 4029 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < 𝐴)
231, 8, 1, 9, 22lttrd 8081 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐴)
241ltnrd 8067 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2523, 24pm2.21fal 1373 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1358  wcel 2148   class class class wbr 4003  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809   + caddc 7813   < clt 7990  cmin 8126   / cdiv 8627  cn 8917  2c2 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-2 8976
This theorem is referenced by:  recvguniq  10999
  Copyright terms: Public domain W3C validator