ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniqlem GIF version

Theorem recvguniqlem 10734
Description: Lemma for recvguniq 10735. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniqlem.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
Assertion
Ref Expression
recvguniqlem (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem
StepHypRef Expression
1 recvguniqlem.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 recvguniqlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3 recvguniqlem.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
42, 3ffvelrnd 5524 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ℝ)
5 recvguniqlem.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 8111 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 8934 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7763 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9 recvguniqlem.lt1 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)))
105, 7readdcld 7763 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11 recvguniqlem.lt2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐾) < (𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)))
124, 10, 7, 11ltadd1dd 8286 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)))
135recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
147recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1513, 14, 14addassd 7756 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))))
166recnd 7762 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
17162halvesd 8933 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = (𝐴𝐵))
1817oveq2d 5758 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
191recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2013, 19pncan3d 8044 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2115, 18, 203eqtrd 2154 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝐵) / 2)) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2212, 21breqtrd 3924 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐾) + ((𝐴𝐵) / 2)) < 𝐴)
231, 8, 1, 9, 22lttrd 7856 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐴)
241ltnrd 7843 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2523, 24pm2.21fal 1336 1 (𝜑 → ⊥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wfal 1321  wcel 1465   class class class wbr 3899  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587   + caddc 7591   < clt 7768  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-2 8747
This theorem is referenced by:  recvguniq  10735
  Copyright terms: Public domain W3C validator