ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recvguniqlem GIF version

Theorem recvguniqlem 11005
Description: Lemma for recvguniq 11006. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
recvguniqlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
recvguniqlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
recvguniqlem.lt1 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜πΎ) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))
recvguniqlem.lt2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΎ) < (𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))
Assertion
Ref Expression
recvguniqlem (πœ‘ β†’ βŠ₯)

Proof of Theorem recvguniqlem
StepHypRef Expression
1 recvguniqlem.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 recvguniqlem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
3 recvguniqlem.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
42, 3ffvelcdmd 5654 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
5 recvguniqlem.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
61, 5resubcld 8340 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
76rehalfcld 9167 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7989 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΎ) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ ℝ)
9 recvguniqlem.lt1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜πΎ) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))
105, 7readdcld 7989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ ℝ)
11 recvguniqlem.lt2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΎ) < (𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))
124, 10, 7, 11ltadd1dd 8515 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΎ) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) < ((𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))
135recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
147recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚)
1513, 14, 14addassd 7982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = (𝐡 + (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))
166recnd 7988 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
17162halvesd 9166 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
1817oveq2d 5893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 + (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
191recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2013, 19pncan3d 8273 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = 𝐴)
2115, 18, 203eqtrd 2214 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴)
2212, 21breqtrd 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΎ) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) < 𝐴)
231, 8, 1, 9, 22lttrd 8085 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐴)
241ltnrd 8071 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐴)
2523, 24pm2.21fal 1373 1 (πœ‘ β†’ βŠ₯)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4  βŠ₯wfal 1358   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„cr 7812   + caddc 7816   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980
This theorem is referenced by:  recvguniq  11006
  Copyright terms: Public domain W3C validator