Theorem recvguniqlem 11141

Description: Lemma for recvguniq 11142. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	2, 3	ffvelcdmd 5695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 8402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 8051	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
10	5, 7	readdcld 8051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	5	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	7	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
15	13, 14, 14	addassd 8044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))))
16	6	recnd 8050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 9231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	oveq2d 5935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
19	1	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	13, 19	pncan3d 8335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
21	15, 18, 20	3eqtrd 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
22	12, 21	breqtrd 4056	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < 𝐴)
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐴)
24	1	ltnrd 8133	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
25	23, 24	pm2.21fal 1384	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1369   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873   + caddc 7877   < clt 8056   − cmin 8192   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043

This theorem is referenced by:  recvguniq  11142