Theorem recvguniqlem 10936

Description: Lemma for recvguniq 10937. Some of the rearrangements of the expressions. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
recvguniqlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
recvguniqlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recvguniqlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
recvguniqlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
recvguniqlem.lt1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
recvguniqlem.lt2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))

Assertion

Ref	Expression
recvguniqlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem recvguniqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recvguniqlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		recvguniqlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3		recvguniqlem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	2, 3	ffvelrnd 5621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) ∈ ℝ)
5		recvguniqlem.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 8279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 7928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
9		recvguniqlem.lt1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
10	5, 7	readdcld 7928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
11		recvguniqlem.lt2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) < (𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
12	4, 10, 7, 11	ltadd1dd 8454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))
13	5	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	7	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
15	13, 14, 14	addassd 7921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))))
16	6	recnd 7927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 9102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = (𝐴 − 𝐵))
18	17	oveq2d 5858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (((𝐴 − 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
19	1	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20	13, 19	pncan3d 8212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
21	15, 18, 20	3eqtrd 2202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
22	12, 21	breqtrd 4008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐾) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) < 𝐴)
23	1, 8, 1, 9, 22	lttrd 8024	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐴)
24	1	ltnrd 8010	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
25	23, 24	pm2.21fal 1363	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:   → wi 4  ⊥wfal 1348   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752   + caddc 7756   < clt 7933   − cmin 8069   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-2 8916

This theorem is referenced by:  recvguniq  10937