Theorem cnsubmlem 14616

Description: Lemma for nn0subm 14621 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubmlem.3	|- 0 e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	|- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3230	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubmlem.3	. 2 |- 0 e. A
4		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
5	4	rgen2 2617	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A
6		cnring 14608	. . 3 |- ℂfld e. Ring
7		ringmnd 14043	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
8		cnfldbas 14598	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
9		cnfld0 14609	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		cnfldadd 14600	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubm 13578	. . 3 |- (ℂfld e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) )
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1205	1 |- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2201   A.wral 2509   C_ wss 3199   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   CCcc 8035   0cc0 8037   + caddc 8040   Mndcmnd 13522  SubMndcsubmnd 13564   Ringcrg 14033  ℂ_fldccnfld 14594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-rp 9894  df-fz 10249  df-cj 11425  df-abs 11582  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-submnd 13566  df-grp 13609  df-cmn 13896  df-mgp 13958  df-ring 14035  df-cring 14036  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595

This theorem is referenced by:  nn0subm  14621  rege0subm  14622