Theorem cnsubmlem 14594

Description: Lemma for nn0subm 14599 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubmlem.3	|- 0 e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	|- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3231	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubmlem.3	. 2 |- 0 e. A
4		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
5	4	rgen2 2618	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A
6		cnring 14586	. . 3 |- ℂfld e. Ring
7		ringmnd 14021	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
8		cnfldbas 14576	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
9		cnfld0 14587	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		cnfldadd 14578	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubm 13556	. . 3 |- (ℂfld e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) )
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1205	1 |- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   A.wral 2510   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   0cc0 8032   + caddc 8035   Mndcmnd 13500  SubMndcsubmnd 13542   Ringcrg 14011  ℂ_fldccnfld 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-cj 11403  df-abs 11560  df-struct 13085  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-sets 13090  df-plusg 13174  df-mulr 13175  df-starv 13176  df-tset 13180  df-ple 13181  df-ds 13183  df-unif 13184  df-0g 13342  df-topgen 13344  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-submnd 13544  df-grp 13587  df-cmn 13874  df-mgp 13936  df-ring 14013  df-cring 14014  df-bl 14562  df-mopn 14563  df-fg 14565  df-metu 14566  df-cnfld 14573

This theorem is referenced by:  nn0subm  14599  rege0subm  14600