Theorem cnsubmlem 14775

Description: Lemma for nn0subm 14780 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubmlem.3	|- 0 e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	|- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3244	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubmlem.3	. 2 |- 0 e. A
4		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
5	4	rgen2 2630	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A
6		cnring 14767	. . 3 |- ℂfld e. Ring
7		ringmnd 14171	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
8		cnfldbas 14757	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
9		cnfld0 14768	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		cnfldadd 14759	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubm 13706	. . 3 |- (ℂfld e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) )
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1206	1 |- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3213   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   CCcc 8130   0cc0 8132   + caddc 8135   Mndcmnd 13650  SubMndcsubmnd 13692   Ringcrg 14161  ℂ_fldccnfld 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-rp 9993  df-fz 10349  df-cj 11535  df-abs 11692  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-starv 13326  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-unif 13334  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-submnd 13694  df-grp 13737  df-cmn 14024  df-mgp 14086  df-ring 14163  df-cring 14164  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-fg 14746  df-metu 14747  df-cnfld 14754

This theorem is referenced by:  nn0subm  14780  rege0subm  14781