Theorem cnsubmlem 14713

Description: Lemma for nn0subm 14718 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubmlem.3	|- 0 e. A

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	|- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2	1	ssriv 3241	. 2 |- A C_ CC
3		cnsubmlem.3	. 2 |- 0 e. A
4		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
5	4	rgen2 2628	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A
6		cnring 14705	. . 3 |- ℂfld e. Ring
7		ringmnd 14139	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
8		cnfldbas 14695	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
9		cnfld0 14706	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
10		cnfldadd 14697	. . . 4 |- + = ( +g ` ℂfld )
11	8, 9, 10	issubm 13674	. . 3 |- (ℂfld e. Mnd -> ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) ) )
12	6, 7, 11	mp2b 8	. 2 |- ( A e. (SubMnd ` ℂfld ) <-> ( A C_ CC /\ 0 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x + y ) e. A ) )
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1206	1 |- A e. (SubMnd ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3210   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8121   0cc0 8123   + caddc 8126   Mndcmnd 13618  SubMndcsubmnd 13660   Ringcrg 14129  ℂ_fldccnfld 14691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-cj 11520  df-abs 11677  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-submnd 13662  df-grp 13705  df-cmn 13992  df-mgp 14054  df-ring 14131  df-cring 14132  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692

This theorem is referenced by:  nn0subm  14718  rege0subm  14719