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Theorem readd 10892
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )

Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 10876 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
32recnd 8000 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
4 ax-icn 7920 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
5 imcl 10877 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
65adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
76recnd 8000 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
8 mulcl 7952 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
10 recl 10876 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1211recnd 8000 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
13 imcl 10877 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1413adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1514recnd 8000 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
16 mulcl 7952 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
174, 15, 16sylancr 414 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
183, 9, 12, 17add4d 8140 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  +  ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
19 replim 10882 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
20 replim 10882 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
2119, 20oveqan12d 5907 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  +  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
2322, 7, 15adddid 7996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
2423oveq2d 5904 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2230 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5531 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  +  ( Im
`  B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 7951 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
281, 10, 27syl2an 289 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR )
29 readdcl 7951 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
305, 13, 29syl2an 289 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )
31 crre 10880 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( Re
`  A )  +  ( Re `  B
) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  +  ( Im `  B ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A
)  +  ( Re
`  B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 411 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im
`  A )  +  ( Im `  B
) ) ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
3326, 32eqtrd 2220 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  +  B )
)  =  ( ( Re `  A )  +  ( Re `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   _ici 7827    + caddc 7828    x. cmul 7830   Recre 10863   Imcim 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-2 8992  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867
This theorem is referenced by:  resub  10893  cjadd  10907  readdi  10951  readdd  10982  fsumre  11494  gzaddcl  12389
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