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Theorem readd 11375
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 11359 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
32recnd 8171 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
4 ax-icn 8090 . . . . . 6 |- _i e. CC
5 imcl 11360 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
65adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
76recnd 8171 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl 8122 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
94, 7, 8sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 recl 11359 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
1211recnd 8171 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
13 imcl 11360 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1413adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1514recnd 8171 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
16 mulcl 8122 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
174, 15, 16sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
183, 9, 12, 17add4d 8311 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
19 replim 11365 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 replim 11365 . . . . 5 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2119, 20oveqan12d 6019 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
2322, 7, 15adddid 8167 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2423oveq2d 6016 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2272 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5630 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 8121 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
281, 10, 27syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
29 readdcl 8121 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
305, 13, 29syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
31 crre 11363 . . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
3326, 32eqtrd 2262 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   _ici 7997   + caddc 7998   x. cmul 8000   Recre 11346   Imcim 11347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-2 9165  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350
This theorem is referenced by:  resub  11376  cjadd  11390  readdi  11434  readdd  11465  fsumre  11978  gzaddcl  12895
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