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Theorem readd 11554
Description: Real part distributes over addition. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
readd |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
Proof of Theorem readd
StepHypRef Expression
1 recl 11538 . . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
21adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR )
32recnd 8302 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
4 ax-icn 8222 . . . . . 6 |- _i e. CC
5 imcl 11539 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
65adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR )
76recnd 8302 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC )
8 mulcl 8254 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
94, 7, 8sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
10 recl 11538 . . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
1211recnd 8302 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
13 imcl 11539 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
1413adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
1514recnd 8302 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
16 mulcl 8254 . . . . . 6 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
174, 15, 16sylancr 414 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
183, 9, 12, 17add4d 8442 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
19 replim 11544 . . . . 5 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
20 replim 11544 . . . . 5 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2119, 20oveqan12d 6069 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) + ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
224a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
2322, 7, 15adddid 8298 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
2423oveq2d 6066 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
2518, 21, 243eqtr4d 2275 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) )
2625fveq2d 5674 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) )
27 readdcl 8253 . . . 4 |- ( ( ( Re ` A ) e. RR /\ ( Re ` B ) e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
281, 10, 27syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR )
29 readdcl 8253 . . . 4 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ ( Im ` B ) e. RR ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
305, 13, 29syl2an 289 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR )
31 crre 11542 . . 3 |- ( ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) e. RR /\ ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) + ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
3326, 32eqtrd 2265 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A + B ) ) = ( ( Re ` A ) + ( Re ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   _ici 8129   + caddc 8130   x. cmul 8132   Recre 11525   Imcim 11526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-2 9296  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529
This theorem is referenced by:  resub  11555  cjadd  11569  readdi  11613  readdd  11644  fsumre  12158  gzaddcl  13075
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