Theorem reneg 11015

Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Proof of Theorem reneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 11000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8050	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 7969	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 11001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 8001	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negdid 8345	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9		replim 11006	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
10	9	negeqd 8216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11		mulneg2 8417	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
12	3, 5, 11	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	12	oveq2d 5935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
15	14	fveq2d 5559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
16	1	renegcld 8401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	4	renegcld 8401	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		crre 11004	. . 3 ⊢ ((-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
20	15, 19	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  ici 7876   + caddc 7877   · cmul 7879  -cneg 8193  ℜcre 10987  ℑcim 10988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-2 9043  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991

This theorem is referenced by:  resub  11017  cjneg  11037  renegi  11071  renegd  11101