Theorem reneg 10526

Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Proof of Theorem reneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 10511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 7711	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 7633	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 10512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 7711	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 7664	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 408	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negdid 8002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9		replim 10517	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
10	9	negeqd 7873	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11		mulneg2 8070	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
12	3, 5, 11	sylancr 408	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	12	oveq2d 5742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
15	14	fveq2d 5377	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
16	1	renegcld 8054	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	4	renegcld 8054	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		crre 10515	. . 3 ⊢ ((-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
20	15, 19	eqtrd 2145	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  ℂcc 7538  ℝcr 7539  ici 7542   + caddc 7543   · cmul 7545  -cneg 7850  ℜcre 10498  ℑcim 10499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-2 8682  df-cj 10500  df-re 10501  df-im 10502

This theorem is referenced by:  resub  10528  cjneg  10548  renegi  10582  renegd  10612