Theorem redivclap 8618

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
redivclap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. RR )

Proof of Theorem redivclap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 986	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> A e. RR )
2	1	recnd 7918	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> A e. CC )
3		simp2 987	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B e. RR )
4	3	recnd 7918	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B e. CC )
5		simp3 988	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> B # 0 )
6		divrecap 8575	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1227	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
8		rerecclap 8617	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. RR )
9	8	3adant1 1004	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( 1 / B ) e. RR )
10	1, 9	remulcld 7920	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A x. ( 1 / B ) ) e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2241	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   CCcc 7742   RRcr 7743   0cc0 7744   1c1 7745   x. cmul 7749   # cap 8470   / cdiv 8559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560

This theorem is referenced by:  redivclapzi  8665  redivclapd  8722  lediv1  8755  nndivre  8884  rehalfcl  9075  qre  9554  rpdivcl  9606  rerpdivcl  9611  resin4p  11645  recos4p  11646  retanclap  11649  sin01gt0  11688  cos01gt0  11689